Cho \(a,\,b,\,c>0\) thỏa mãn \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 213486:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,b,\,c>0\) thỏa mãn \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\) là:

A. \(3\)

B. \(4\)

C. \(5\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213486

Phương pháp giải

Phương pháp:

Chia cả hai vế \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\) cho \(abc\) rồi đặt ẩn phụ đưa bài toán về bài toán quen thuộc rồi áp dụng bất đẳng thức Cô-si đánh giá tìm GTNN của \(P\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Chia cả hai vế \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\) cho \(abc\) ta nhận được

\(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=6\,\,\left( 1 \right).\) Đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}.\)

Khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(x+y+z+xy+yz+zx=6.\)

Hơn nữa \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( {{x}^{2}},{{y}^{2}} \right),\left( {{y}^{2}},{{z}^{2}} \right),\left( {{z}^{2}},{{x}^{2}} \right) \) ta nhận được \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy, \\ & {{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 2yz, \\ & {{z}^{2}}+{{x}^{2}}\ge 2zx \\ \end{align} \right.\,\,\left( 2 \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( {{x}^{2}},1 \right),\left( {{y}^{2}},1 \right),\left( {{z}^{2}},1 \right)\) ta nhận được \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+1\ge 2x, \\ & {{y}^{2}}+1\ge 2y, \\ & {{z}^{2}}+1\ge 2z \\ \end{align} \right.\,\,\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 2 \right),\left( 3 \right)\) ta nhận được:

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,3P+3\ge 2\left( xy+yz+zx \right)+2\left( x+y+z \right)=2\left( xy+yz+zx+x+y+z \right)=12 \\ & \Rightarrow P\ge 3. \\ \end{align}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(3\) đạt được khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2xy \\ & {{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2yz \\ & {{z}^{2}}+{{x}^{2}}=2zx \\ & {{x}^{2}}+1=2x \\ & {{y}^{2}}+1=2y \\ & {{z}^{2}}+1=2z \\ & xy+yz+zx+x+y+z=6 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=z=1.\)

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link