Cho \(a,\,b,\,c>0\) thỏa mãn \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 213486:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,b,\,c>0\) thỏa mãn \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\) là:

A. \(3\)

B. \(4\)

C. \(5\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213486

Phương pháp giải

Phương pháp:

Chia cả hai vế \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\) cho \(abc\) rồi đặt ẩn phụ đưa bài toán về bài toán quen thuộc rồi áp dụng bất đẳng thức Cô-si đánh giá tìm GTNN của \(P\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Chia cả hai vế \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\) cho \(abc\) ta nhận được

\(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=6\,\,\left( 1 \right).\) Đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}.\)

Khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(x+y+z+xy+yz+zx=6.\)

Hơn nữa \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( {{x}^{2}},{{y}^{2}} \right),\left( {{y}^{2}},{{z}^{2}} \right),\left( {{z}^{2}},{{x}^{2}} \right) \) ta nhận được \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy, \\ & {{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 2yz, \\ & {{z}^{2}}+{{x}^{2}}\ge 2zx \\ \end{align} \right.\,\,\left( 2 \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( {{x}^{2}},1 \right),\left( {{y}^{2}},1 \right),\left( {{z}^{2}},1 \right)\) ta nhận được \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+1\ge 2x, \\ & {{y}^{2}}+1\ge 2y, \\ & {{z}^{2}}+1\ge 2z \\ \end{align} \right.\,\,\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 2 \right),\left( 3 \right)\) ta nhận được:

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,3P+3\ge 2\left( xy+yz+zx \right)+2\left( x+y+z \right)=2\left( xy+yz+zx+x+y+z \right)=12 \\ & \Rightarrow P\ge 3. \\ \end{align}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(3\) đạt được khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2xy \\ & {{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2yz \\ & {{z}^{2}}+{{x}^{2}}=2zx \\ & {{x}^{2}}+1=2x \\ & {{y}^{2}}+1=2y \\ & {{z}^{2}}+1=2z \\ & xy+yz+zx+x+y+z=6 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=z=1.\)

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link