Cho biểu thức \(P=\left( \frac{x-1}{3x+{{(x-1)}^{2}}}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1}

Câu hỏi số 213593:

Vận dụng

Cho biểu thức $P=\left( \frac{x-1}{3x+{{(x-1)}^{2}}}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right):\frac{{{x}^{2}}+1}{1-x}$

a) Rút gọn $P$

b) Tính giá trị của $x$ để $\frac{1}{P}$ đạt GTNN và tìm giá trị đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213593

Phương pháp giải

Phương pháp:

- Tìm ĐKXĐ của phân thức;

- Cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số, và thu gọn.

- Biến đổi phân thức thu gọn được và đánh giá.

Giải chi tiết

Cách giải:

$P=\left( \frac{x-1}{3x+{{(x-1)}^{2}}}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right):\frac{{{x}^{2}}+1}{1-x}$ (ĐK: $x\ne 1$)

$\begin{align} & P=\left( \frac{x-1}{3x+{{(x-1)}^{2}}}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right):\frac{{{x}^{2}}+1}{1-x} \\& =\left( \frac{x-1}{3x+{{x}^{2}}-2x+1}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right):\frac{{{x}^{2}}+1}{1-x} \\ & =\left( \frac{x-1}{{{x}^{2}}+x+1}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right).\frac{1-x}{{{x}^{2}}+1} \\ & =\frac{{{x}^{2}}-2x+1-1+3x-{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-x-1}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}.\frac{1-x}{{{x}^{2}}+1} \\ & =\frac{-{{x}^{2}}-1}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}.\frac{1-x}{{{x}^{2}}+1} \\ & =\frac{1}{{{x}^{2}}+x+1} \\\end{align}$

b) Ta có: $P=\frac{1}{{{x}^{2}}+x+1}\Rightarrow \frac{1}{P}={{x}^{2}}+x+1={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\forall x\ne 1$

Vậy GTNN của P là $\frac{3}{4}$ khi $x=-\frac{1}{2}.$

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link