Cho tứ giác lồi \(ABCD,\) gọi \(A',\,B',\,C',\,D'\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(BCD, \,ACD,\,ABD,\,ABC\) và \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AC,\,BD.\)
Chứng minh rằng các đường thẳng \(AA',\,BB',\,CC',\,DD'\) và \(MN\) đồng quy.
Câu 216516: Cho tứ giác lồi \(ABCD,\) gọi \(A',\,B',\,C',\,D'\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(BCD, \,ACD,\,ABD,\,ABC\) và \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AC,\,BD.\)
Chứng minh rằng các đường thẳng \(AA',\,BB',\,CC',\,DD'\) và \(MN\) đồng quy.
Quảng cáo
Dựa vào hình vẽ ta dự đoán \(AA',BB',CC',DD',MN\) sẽ đồng quy tại trung điểm của \(MN\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AA'\) và \(MN\) ta sẽ chứng minh \(I\) là trung điểm của \(MN\).
Ta dùng kiến thức về đường trung bình của tam giác và điểm \(K\) là trung điểm của \(A'C\) sẽ giúp ta giải bài toán.
-
Giải chi tiết:
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AA'\) và \(MN,K\) là trung điểm của đoạn \(A'C\) .
Do \(A'\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\) nên suy ra \(CK=KA=A'N\).
Tam giác \(AA'C\) có \(AM=MC\left( gt \right),CK=KA'\) suy ra \(MK\) là đường trung bình của tam giác \(AA'C.\)
Suy ra \(MK//AA'.\)
Tam giác \(NMK\) có \(IA'//MK\) và \(KA'=\text{ }A'N\) nên \(MI=IN\) .
Vậy \(I\) là trung điểm của \(MN,\) suy ra \(AA'\) đi qua trung điểm \(I\) của \(MN.\)
Chứng minh tương tự ta cũng có \(BB',CC',DD'\) đi qua \(I\).
Vậy các đường thẳng \(AA',\,BB',\,CC',\,DD',\,MN\) đồng quy.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
