Cho tứ giác lồi \(ABCD,\) gọi \(A',\,B',\,C',\,D'\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(BCD,

Câu hỏi số 216516:

Vận dụng cao

Cho tứ giác lồi \(ABCD,\) gọi \(A',\,B',\,C',\,D'\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(BCD, \,ACD,\,ABD,\,ABC\) và \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AC,\,BD.\)

Chứng minh rằng các đường thẳng \(AA',\,BB',\,CC',\,DD'\) và \(MN\) đồng quy.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:216516

Phương pháp giải

Dựa vào hình vẽ ta dự đoán \(AA',BB',CC',DD',MN\) sẽ đồng quy tại trung điểm của \(MN\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AA'\) và \(MN\) ta sẽ chứng minh \(I\) là trung điểm của \(MN\).

Ta dùng kiến thức về đường trung bình của tam giác và điểm \(K\) là trung điểm của \(A'C\) sẽ giúp ta giải bài toán.

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AA'\) và \(MN,K\) là trung điểm của đoạn \(A'C\) .

Do \(A'\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\) nên suy ra \(CK=KA=A'N\).

Tam giác \(AA'C\) có \(AM=MC\left( gt \right),CK=KA'\) suy ra \(MK\) là đường trung bình của tam giác \(AA'C.\)

Suy ra \(MK//AA'.\)

Tam giác \(NMK\) có \(IA'//MK\) và \(KA'=\text{ }A'N\) nên \(MI=IN\) .

Vậy \(I\) là trung điểm của \(MN,\) suy ra \(AA'\) đi qua trung điểm \(I\) của \(MN.\)

Chứng minh tương tự ta cũng có \(BB',CC',DD'\) đi qua \(I\).

Vậy các đường thẳng \(AA',\,BB',\,CC',\,DD',\,MN\) đồng quy.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link