Cho tam giác \(ABC\) với \(AC>AB\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AB\). Từ

Câu hỏi số 216514:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) với \(AC>AB\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AB\). Từ \(M\) và \(C\) kẻ đường vuông góc với phân giác trong của góc \(A\), các đường này lần lượt cắt tia \(AB\) tại \(P\) và \(E\).

a) Chứng minh rằng \(AP=\frac{AB+AC}{2}\)

b) Chứng minh \(\Delta PNM\) là tam giác cân.

c) So sánh \(PN\) và \(AC\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:216514

Phương pháp giải

Phương pháp:

a) Chứng minh \(P\) là trung điểm của \(BE\) dựa vào đường trung bình rồi suy ra \(AP=\frac{AB+AE}{2}\).

Chứng minh \(\Delta ACE\) cân tại \(A\) suy ra \(AE=AC\Rightarrow \) đpcm.

b) Chứng minh \(\Delta NPM\) cân tại \(N\) bằng cách sử dụng tính chất đường trung bình và tính chất tam giác cân.

c) Chứng minh \(PN=\frac{1}{2}AC\).

Giải chi tiết

a) Ta có \(AP = AB + BP\); \(AP = AE - PE\)

Do đó \(2AP = AB + AE + BP - PE{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Trong \(\Delta BEC\)ta có :\(BM = MC\) và \(MP\parallel CE\) (cùng vuông góc với tia phân giác Ax)

\( \Rightarrow P\) là trung điểm của BE hay \(BP = PE\)

Mặt khác \(\Delta ACE\)cân tại \(A\) (vì có phân giác trong của góc \(A\) cũng là đường cao)

Suy ra\(AE = AC\)

Vậy (1) cho ta \(2AP = AB + AC\) hay \({\rm{AP = }}\dfrac{{AB + AC}}{2}\) (đpcm)

b) Đường thẳng MP cắt AC tại \(Q\) .

Ta có \(\Delta APQ\)cân tại \(A\) (vì phân giác trong của góc \(A\) cũng là đường cao)

Suy ra \(\angle APM = \angle AQP\)

Dễ dàng chứng minh MN là đường trung bình \(\Delta ABC\), suy ra \(MN\parallel AC\)

\( \Rightarrow \angle NMP = \angle AQP\) (hai góc đồng vị)

Do đó \(\angle APM = \angle NMP\) \( \Rightarrow MNP\)cân tại \(N\)

c) Vì \(MNP\)cân tại \(N\)\( \Rightarrow PN = MN\)

Mà MN là đường trung bình \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}AC\)

\( \Rightarrow PN = \dfrac{1}{2}AC\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link