Cho hình thang \(ABCD\left( AB//CD \right),\) hai đường phân giác của góc \(A\) và góc \(D\) cắt nhau

Câu hỏi số 216660:

Vận dụng cao

Cho hình thang \(ABCD\left( AB//CD \right),\) hai đường phân giác của góc \(A\) và góc \(D\) cắt nhau tại \(I,\) hai đường phân giác của góc \(B\) và góc \(C\) cắt nhau tại \(J.\) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD,\text{ }K\) là trung điểm của \(BC\) . Cho biết \(AB=AD=10cm,\,BC=12cm,\,CD=20cm.\) Tính độ dài các đoạn \(HI,\text{ }IJ\) và \(JK.\)

A. \(\begin{array}{l}
HI = 5\,\,cm\\
IJ = 3\,\,cm\\
JK = 6\,cm
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
HI = 5\,\,cm\\
IJ = 4\,\,cm\\
JK = 3\,cm
\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}
HI = 3\,\,cm\\
IJ = 4\,\,cm\\
JK = 6\,cm
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
HI = 5\,\,cm\\
IJ = 4\,\,cm\\
JK = 6\,cm
\end{array}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:216660

Phương pháp giải

Sử dụng định lí đường trung bình của hình thang để tính \(HK\).

Sau đó ta đi chứng minh bốn điểm \(H,\,I,\,J,\,K\) thẳng hàng từ đó tính được \(HI,\,J,\,IK\).

Giải chi tiết

Xét hình thang \(ABCD\) có: \(H\) là trung điểm của \(AD,\text{ }K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(KH\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\).

Suy ra \(\left\{ \begin{align} & KH\parallel CD(1) \\ & HK=\frac{AB+CD}{2}=\frac{10+20}{2}=15cm \\\end{align} \right.\)

Vì \(AI\) và \(DI\) là hai tia phân giác của góc \(A\) và góc \(D\) nên ta có:\(\widehat{IAD}+\widehat{IDA}=\frac{\widehat{A}+\widehat{D}}{2}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ \) .

Xét \(\Delta AID\) có: \(\widehat{AID}=180{}^\circ -\left( \widehat{IAD}+\widehat{IDA} \right)=180{}^\circ -90{}^\circ =90{}^\circ \) . Suy ra \(\Delta AID\) vuông tại \(I\). Lại có \(IH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AD\) của tam giác vuông \(AID\) nên \(HI=HD\) .

Do đó tam giác \(HID\) cân tại \(H\) nên\(\widehat{HID}=\widehat{HDI}\) .

Mà \(\widehat{HDI}=\widehat{IDC}\Rightarrow \widehat{HID}=\widehat{IDC}\Rightarrow HI\parallel DC(2)\) .

Từ (1) và (2) suy ra \(H,\text{ }I,\text{ }K\) thẳng hàng hay điểm \(I\) thuộc đường thẳng \(HK\).

Tương tự điểm \(J\) thuộc đường thẳng \(HK\). Do đó bốn điểm \(H,\text{ }I,\text{ }J,\text{ }K\) thẳng hàng.

\(\begin{align} & IH=\frac{AD}{2}=\frac{10}{2}=5cm \\ & JK=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6cm \\ & \Rightarrow \text{IJ}=HK-IH-JK=15-5-6=4cm \\\end{align}\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link