Chứng tỏ rằng H chia hết cho 155, biết H = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 299 +

Câu hỏi số 216850:

Vận dụng cao

Chứng tỏ rằng H chia hết cho 155, biết H = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:216850

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất chia hết: \( a \vdots 155 \Rightarrow ab \vdots 155 \).

Tìm số các số hạng của dãy số H, nhóm các hạng tử một cách hợp lý để đưa về dạng: \( ab \vdots 155 \) có \( a \vdots 155 \).

Giải chi tiết

Tổng H có (100 - 1) : 1 + 1 = 100 số hạng

Do 100 chia hết cho 4 nên ta có thể chia H thành từng nhóm 4 số hạng:

H = (2 + 2² + 2³+2⁴) + (2⁵ + 2⁶+ 2⁷+2⁸) + ...+ (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹+2¹⁰⁰)

= 2.(1 +2+2² + 2³) + 2⁵.(1 +2+2² + 2³) + ...+ 2⁹⁷.(1+2+2² + 2³)

= 2.15 + 2⁵.15 + ... + 2⁹⁷.15

= 15.(2 + 2⁵ + ... + 2⁹⁷)

Suy ra H15. Vì 155 nên H5

Do 100 chia hết cho 5 nên ta có thể chia H thành từng nhóm 5 số hạng:

H = (2 + 2² + 2³+2⁴+2⁵) + (2⁶+ 2⁷+2⁸+2⁹+2¹⁰) + ...+ (2⁹⁶ +2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹+2¹⁰⁰)

= 2.(1 +2+2² + 2³+2⁴) + 2⁶.(1 +2+2² + 2³+2⁴) + ...+ 2⁹⁶.(1 +2+2² + 2³+2⁴)

= 2.31 + 2⁶.31 + ... + 2⁹⁶.31

= 31.(2 + 2⁶ + ... + 2⁹⁶)

Suy ra H31

Vì H5, H31 và (5;31) = 1 nên H 5.31 hay H 155

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link