1) Tính giá trị biểu thức \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\quad khi\quad x=\frac{1}{4}\) 2) Cho biểu thức

Câu hỏi số 218472:

Vận dụng

1) Tính giá trị biểu thức \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\quad khi\quad x=\frac{1}{4}\)

2) Cho biểu thức \(A=\left( \frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2} \right).\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\) với \(x>0;\,\,x\ne 1.\)

a) Rút gọn biểu thức A

b) So sánh giá trị biểu thức A với 1.

c) Tìm giá trị của x để \(\frac{P}{A}\left( x-1 \right)=0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218472

Phương pháp giải

1) Phương pháp:

+) Tìm ĐKXĐ của biểu thức.

+) Xét xem giá trị x đề bài cho có thỏa mãn ĐKXĐ hay không.

+) Nếu giá trị x đó thỏa mãn, thay giá trị x đó vào biểu thức để tính giá trị biểu thức P.

2) Phương pháp:

Câu a: Rút gọn biểu thức:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức nếu đề bài chưa cho.

Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức).

+) Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung,

+) Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác hay không.

Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.

Câu b: So sánh biểu thức A với 1.

+) Xét hiệu \(A-1.\) Nếu \(A-1>0\Rightarrow A>1;\,\,\text{A}-1=0\Leftrightarrow A=1;\,\,\,\,A-1<0\Leftrightarrow A<1.\)

Câu c: Tìm giá trị của x thỏa mãn phương trình cho trước:

+) Thay biểu thức A đã rút gọn vào để giải phương trình tìm x.

+) Tìm được giá trị của x thì phải đối chiếu với ĐKXĐ để kết luận giá trị của x.

Giải chi tiết

Giải:

1) ĐKXĐ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)

Ta thấy giá trị \(x=\frac{1}{4}\) thỏa mãn ĐKXĐ.

Với \(x=\frac{1}{4}\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\). Thay vào P ta được: \(P=\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}-1}=\frac{3}{2}:\left( -\frac{1}{2} \right)=-3.\)

Vậy với \(x=\frac{1}{4}\) thì \(P=-3.\)

Giải:

a) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{align} & x>0 \\ & x\ne 1 \\\end{align} \right..\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\end{array}\)

b) Xét hiệu: \(A-1=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-1=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.\)

Ta có: \(\sqrt{x}>0\,\,\forall x\ne 0;\,\,x\ne 1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}>0\,\,\forall x\ne 0;\,\,x\ne 1.\)

\(\Rightarrow A-1>0\Leftrightarrow A>1.\)

Vậy \(A>1.\)

c) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{align} & x>0 \\ & x\ne 1 \\ \end{align} \right..\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\frac{P}{A}\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x = 0\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,\sqrt x + 1 > 0\,\,\forall x} \right)\\ \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right).\end{array}\)

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn \(\frac{P}{A}\left( x-1 \right)=0\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link