Xét các số thực dương x, y thỏa mãn \(\ln \left( \frac{1-2x}{x+y} \right)=3x+y-1\) Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi số 219312:

Vận dụng cao

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn \(\ln \left( \frac{1-2x}{x+y} \right)=3x+y-1\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({{P}_{\min }}\) của \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\)

A. \({{P}_{\min }}=8\)

B. \({{P}_{\min }}=16\)

C. \({{P}_{\min }}=4\)

D. \({{P}_{\min }}=2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:219312

Phương pháp giải

Đưa phương trình về dạng \(\ln \left( 1-2x \right)+1-2x=\ln \left( x+y \right)+x+y\), sau đó xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right)=\ln t+t\) và chứng minh hàm số \(y=f\left( t \right)\) đơn điệu, suy ra mối quan hệ giữa x và y.

Đưa biểu thức P về một biến x hoặc y, sau đó dùng MTCT để tìm GTNN của P.

Giải chi tiết

ĐK: \(\frac{1-2x}{x+y}>0\), do x, y > 0 nên \(x+y>0\Rightarrow 1-2x>0\Leftrightarrow 0<x<\frac{1}{2};y>0\).

Khi đó ta có:

\(\begin{align}& \,\,\,\,\,\,\,\,\ln \left( \frac{1-2x}{x+y} \right)=3x+y-1\Leftrightarrow \ln \left( 1-2x \right)-\ln \left( x+y \right)=2x+x+y-1 \\& \Leftrightarrow \ln \left( 1-2x \right)+1-2x=\ln \left( x+y\right)+x+y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\\end{align}\)

Xét hàm số đặc trưng \(f\left( t \right)=\ln t+t\) với t > 0 có \(f'\left( t \right)=\frac{1}{t}+1>0\Rightarrow \)Hàm số y = f(t) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\)

Mà từ (1) ta có \(f\left( 1-2x \right)=f\left( x+y \right)\Rightarrow 1-2x=x+y\Leftrightarrow y=1-3x\)

Khi đó \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x\left( 1-3x \right)}},\,\,\,0<x<\frac{1}{2}.\)

Sử dụng máy tính cầm tay, chức năng [MODE] [7] , ta tìm được \({{P}_{\min }}=8\) khi \(x=\frac{1}{4}\)

Chú ý khi giải

Lưu ý điều kiện xác định ban đầu của phương trình trong bài toán này rất quan trọng, khi làm việc với các phương trình logarit, học sinh rất hay bỏ quên mất điều kiện xác định của phương trình.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.