Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 4\) và parabol (P’) là ảnh

Câu hỏi số 219511:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 4\) và parabol (P’) là ảnh của (P) qua phép tiện tiến theo \(\overrightarrow v = \left( {0;b} \right)\), với 0 < b < 4. Gọi A, B là giao điểm của (P) với Ox, M, N là giao điểm của (P’) với Ox, I, J lần lượt là đỉnh của (P) và (P’). Tìm tọa độ điểm J để diện tích tam giác IAB bằng 8 lần diện tích tam giác JMN.

A. \(J\left( {0; - \dfrac{1}{5}} \right)\)

B. \(J\left( {0;1} \right)\)

C. \(J\left( {0; - \dfrac{4}{5}} \right)\)

D. \(J\left( {0; - 1} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:219511

Phương pháp giải

J là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vector v, tìm tọa độ điểm J theo b.

Tìm tọa độ các điểm I, A, B, M, N và dùng giả thiết \({S_{IAB}} = 8{S_{JMN}}\) đề tìm b.

Giải chi tiết

Parabol (P) có đỉnh \(I\left( {0; - 4} \right)\), (P) giao với trục Ox tại 2 điểm A(2; 0) và B(-2; 0).

Dễ thấy \({S_{IAB}} = \dfrac{1}{2}IO.AB = \dfrac{1}{2}\left| { - 4} \right|\left| {2 - \left( { - 2} \right)} \right| = 8 = 8{S_{JMN}} \Rightarrow {S_{JMN}} = 1.\)

Vì phép tịnh tiến là phép dời hình nên \({T_{\overrightarrow v }}\left( I \right) = J \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \overrightarrow v \) , gọi J(x; y)

Ta có:

\(\left( {x - 0;y + 4} \right) = \left( {0;b} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = b - 4\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {0;b - 4} \right)\) , khi đó phương trình parabol (P’) có dạng

\(y = {x^2} + b - 4\), do 0 < b < 4 nên 4 – b > 0.

(P’) giao với trục Ox tại 2 điểm \(M\left( {\sqrt {4 - b} ;0} \right);\,N\left( { - \sqrt {4 - b} ;0} \right)\)

Dễ thấy

\(\begin{array}{l}{S_{JMN}} = \dfrac{1}{2}JO.MN = \frac{1}{2}\left| {b - 4} \right|\left| {\sqrt {4 - b} - \left( { - \sqrt {4 - b} } \right)} \right|\\ = \dfrac{1}{2}\left( {4 - b} \right)2\sqrt {4 - b} = {\left( {\sqrt {4 - b} } \right)^3} = 1 \Leftrightarrow 4 - b = 1 \Rightarrow b = 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(J\left( {0; - 1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.