Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và dây cung \(BC = R.\) Hai tiếp tuyến của đường tròn

Câu hỏi số 219762:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và dây cung \(BC = R.\) Hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B,\,C\) cắt nhau ở \(A.\) Khi đó phần diện tích giới hạn bởi tứ giác \(ABOC\) và cung \(BC\) là:

A. \(\frac{{{R^2}\left( {2\sqrt 3 + \pi } \right)}}{6}\)

B. \(\frac{{{R^2}\left( {\sqrt 3 - \pi } \right)}}{6}\)

C. \(\frac{{{R^2}\left( {2\sqrt 3 - \pi } \right)}}{6}\)

D. \(\frac{{{R^2}\left( {2\sqrt 3 - \pi } \right)}}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:219762

Phương pháp giải

Tính diện tích tứ giác \(ABOC\) và diện tích hình quạt \(OBC\).

Diện tích cần tính bằng hiệu hai phần diện tích trên.

Giải chi tiết

Gọi \(S\) là phần diện tích cần tìm. \({S_1}\) là diện tích của \(ABOC,\,{S_2}\) là diện tích của quạt \(OBC.\)

Do \(BC = OC = OB = R\) nên \(\Delta BOC\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {BOC} = {60^0}.\)

Vì vậy \({S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{{360}}.60 = \frac{{\pi {R^2}}}{6}.\)

Nối \(A\) với \(O \Rightarrow OA\) là phân giác của góc \(\widehat {BOC} \Rightarrow \widehat {AOC} = {30^0}.\)

Ta có \(\cos \,\widehat {AOC} = \frac{{CỔ}}{{ÁO}} \Rightarrow ÁO = \frac{{CÓ}}{{\cos \,\widehat {AOC}}} = \frac{{CÓ}}{{\cos \,{{30}^0}}} = \frac{{2CO}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}.\)

Ta cũng có \(AO \bot BC\) nên \({S_1} = \frac{1}{2}AO.BC = \frac{1}{2}.\frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}.R = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{3}.\)

Vậy \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\pi {R^2}}}{6} = \frac{{{R^2}\left( {2\sqrt 3 - \pi } \right)}}{6}.\)

Chọn đáp án C.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.