Có 15 quả bi-a hình cầu đặt nằm trên mặt bàn, sao cho chúng được dồn khít trong một khung

Câu hỏi số 220339:

Vận dụng cao

Có 15 quả bi-a hình cầu đặt nằm trên mặt bàn, sao cho chúng được dồn khít trong một khung hình tam giác đều có chu vi bằng 858mm (hình vẽ bên). Tính bán kính của mỗi quả bi-a?

A. 25mm

B. 20mm

C. 25cm

D. 3cm

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220339

Giải chi tiết

Gọi: H,K lần lượt là điểm tiếp xúc của cạnh BC, AB với đường tròn (O).

Suy ra: BH, BK là tiếp tuyến của đường tròn (O).

N,M lần lượt là điểm tiếp xúc của cạnh BC, AC với đường tròn (O’).

Xét hàng bi-a cuối gồm 5 quả tiếp xúc với cạnh BC như hình vẽ. Gọi r là bán kính của mỗi viên bi-a. Độ dài cạnh của tam giác đều ABC là:

858 : 3 = 286^{} (m m)

$858:3 = {286^{}}(mm)$ Do tam giác ABC đều nên góc ABC = 60⁰ OB là tia phân giác góc ABC (do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm ngoài đường tròn).

$\Rightarrow \widehat {OBH} = {60^0}:2 = {30^0}$

Xét tam giác OBH vuông tại H, ta có:

$\tan \widehat {OBH} = \dfrac{{OH}}{{BH}} \Rightarrow BH = \dfrac{{OH}}{{\tan {{30}^0}}} = r{\sqrt 3 ^{}}\left( {mm} \right)$

Tương tự ta cũng có: CN =

r {\sqrt{3}}^{} (m m)

$r{\sqrt 3 ^{}}\left( {mm} \right)$ Ta có:

B C = B H + H N + N C = r \sqrt{3} + 8 r + r \sqrt{3} = 2 (4 + \sqrt{3}) {r^{}}^{} (m m)

$BC = BH + HN + NC = r\sqrt 3 + 8r + r\sqrt 3 = 2\left( {4 + \sqrt 3 } \right){r^{}}^{}\left( {mm} \right)$ Mà: BC = 286 (mm)

\Rightarrow

$\Rightarrow$

2 (4 + \sqrt{3}) r = 286 \Leftrightarrow r = \frac{286}{2 (4 + \sqrt{3})} \approx 25^{} (m m)

$2\left( {4 + \sqrt 3 } \right)r = 286 \Leftrightarrow r = \dfrac{{286}}{{2\left( {4 + \sqrt 3 } \right)}} \approx {25^{}}(mm)$

Vậy: Bán kính của mỗi quả bia-a bằng 25mm.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.