Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left| {x.\sin x + \cos x - 1} \right|{\rm{d}}x} = a.\pi +

Câu hỏi số 222318:

Vận dụng

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left| {x.\sin x + \cos x - 1} \right|{\rm{d}}x} = a.\pi + b,\) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỷ.

Tính giá trị biểu thức \(P = 2a + {b^2}.\)

A. \(P = 6.\)

B. \(P = 3.\)

C. \(P = 2.\)

D. \(P = - \,3.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:222318

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn chứa cận tích phân, từ đó phá dấu trị tuyệt đối và sử dụng các phương pháp tính tích phân để tìm các tham số a, b, c …

Giải chi tiết

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x.\sin x + \cos x - 1\) trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right],\) có \(f'\left( x \right) = x.\cos x \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right].\)

Suy ra \(f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\)\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right) = 0.\)

Khi đó \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left| {x.\sin x + \cos x - 1} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {x.\sin x + \cos x - 1} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - 1} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.\sin x\,{\rm{d}}x} .\)

Đặt\(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right. \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx} = \left. { - x\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1\)

\( \Rightarrow I = \left. {\left( {\sin x - x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} + 1 = 1 - \dfrac{\pi }{2} + 1 = 1 - \dfrac{\pi }{2} + 1 = 2 - \dfrac{\pi }{2}.\)

Mặt khác \(I = a.\pi + b \Rightarrow a = - \dfrac{1}{2};\,\,b = 2.\)

Vậy \(P = 2a + {b^2} = 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + {2^2} = 3.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.