Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {\left| {\ln x - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }}} \right|{\rm{d}}x} = a.{\left( {\sqrt e } \right)^3} + b\sqrt e + c,\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỷ. Tính giá trị biểu thức \(P = 3a + 2b + 6c.\)
Câu 222319: Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {\left| {\ln x - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }}} \right|{\rm{d}}x} = a.{\left( {\sqrt e } \right)^3} + b\sqrt e + c,\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỷ. Tính giá trị biểu thức \(P = 3a + 2b + 6c.\)
A. \(P = - \,2.\)
B. \(P = - \,1.\)
C. \(P = 0.\)
D. \(P = 1.\)
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn chứa cận tích phân, từ đó phá dấu trị tuyệt đối và sử dụng các phương pháp tính tích phân để tìm các tham số a, b, c …
-
Đáp án : C(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \ln x - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\) trên \(\left[ {1;e} \right],\) có \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{{x + 1}}{{2x\sqrt x }} = - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{2x\sqrt x }} \le 0;\,\,\forall x \in \left[ {1;e} \right].\)
Suy ra \(f\left( x \right)\) là hàm số nghịch biến trên \(\left[ {1;e} \right] \Rightarrow f\left( x \right) \le f\left( 1 \right) = 0,\,\,\forall x \in \left[ {1;e} \right].\)
Khi đó \(I = \int\limits_1^e {\left| {\ln x - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }}} \right|{\rm{d}}x} = - \,\int\limits_1^e {\left( {\ln x - \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }}} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^e {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {x^{ - \,\frac{1}{2}}}} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^e {\ln x\,{\rm{d}}x} .\)
Đặt\(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = x\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_1^e {\ln xdx} = \left. {x\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {dx} = e - \left( {e - 1} \right) = 1\)
\( \Rightarrow I = \left. {\left( {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}} - 2{x^{\dfrac{1}{2}}}} \right)} \right|_1^e - 1 = \dfrac{{2e\sqrt e }}{3} - 2\sqrt e + \dfrac{4}{3} - 1 = \dfrac{2}{3}.{\left( {\sqrt e } \right)^3} - 2.\sqrt e + \dfrac{1}{3}.\)
Mà \(I = a.{\left( {\sqrt e } \right)^3} + b\sqrt e + c \Rightarrow a = \dfrac{2}{3};\,\,b = - \,2;\,\,c = \dfrac{1}{3}.\)
Vậy \(P = 3.\dfrac{2}{3} + 2.\left( { - \,2} \right) + 6.\dfrac{1}{3} = 0.\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com