Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,\,\,\,BC=a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông

Câu hỏi số 223337:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,\,\,\,BC=a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right).\) Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB\) và \(SC.\) Tính thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.HKB.\)

A. \(\sqrt{2}\,\pi {{a}^{3}}.\)

B. \(\frac{\pi {{a}^{3}}}{6}.\)

C. \(\frac{\pi {{a}^{3}}}{2}.\)

D. \(\frac{\sqrt{2}\,\pi {{a}^{3}}}{3}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:223337

Phương pháp giải

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đi qua các đỉnh của khối chóp bằng phương pháp dựng hình, từ đó dựa vào tính toán xác định bán kính – thể tích mặt cầu

Giải chi tiết

Theo giả thiết, ta có \(\widehat{ABC}={{90}^{0}}\) và \(\widehat{AKC}={{90}^{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Do \(\left\{ \begin{align} & AH\bot SB \\ & BC\bot AH\,\,\,\,\left( BC\bot \left( SAB \right) \right) \\\end{align} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot HC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\)\(\Rightarrow \) ba điểm \(B,\,\,H,\,\,K\) cùng nhìn xuống \(AC\) dưới một góc \({{90}^{0}}.\)

Nên hình chóp \(A.HKCB\) nội tiếp mặt cầu tâm \(I\) là trung điểm \(AC.\)

\(\Rightarrow \)\(R=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\) Vậy thể tích khối cầu \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{\sqrt{2}\,\pi {{a}^{3}}}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.