Số nghiệm của phương trình \(\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} = \sqrt[3]{{x + 2}} +

Câu hỏi số 224681:

Vận dụng cao

Số nghiệm của phương trình \(\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} = \sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{2{x^2}}}\) là:

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:224681

Phương pháp giải

\(\begin{array}{l}+ \,\,\,\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}} = \sqrt[3]{{h(x)}} + \sqrt[3]{{k(x)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}}} \right)^3} = {\left( {\sqrt[3]{{h(x)}} + \sqrt[3]{{k(x)}}} \right)^3}\\\Leftrightarrow f(x) + g(x) + 3\sqrt[3]{{f(x).g(x)}}\left( {\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}}} \right) = h(x) + k(x) + 3\sqrt[3]{{h(x).k(x)}}\left( {\sqrt[3]{{h(x)}} + \sqrt[3]{{k(x)}}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

+ Thay (1) vào (2) ta giải phương trình ta tìm được x.

Giải chi tiết

Ta có:

\[\begin{array}{l}\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} = \sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{2{x^2}}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}}} \right)^3} = {\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{2{x^2}}}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow x + 1 + 2{{\rm{x}}^2} + 1 + 3\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {2{{\rm{x}}^2} + 1} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2} + 1}}} \right) = x + 2 + 2{{\rm{x}}^2} + 3\sqrt[3]{{\left( {x + 2} \right)2{{\rm{x}}^2}}}\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2}}}} \right)\\ \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {2{{\rm{x}}^2} + 1} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2} + 1}}} \right) = 3\sqrt[3]{{\left( {x + 2} \right)2{{\rm{x}}^2}}}\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2}}}} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {2{{\rm{x}}^2} + 1} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2}}}} \right) = \sqrt[3]{{\left( {x + 2} \right)2{{\rm{x}}^2}}}\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2}}}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2}}}} \right) = 0\\\left( {\sqrt[3]{{\left( {x + 2} \right)2{{\rm{x}}^2}}} - \sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {2{{\rm{x}}^2} + 1} \right)}}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt[3]{{x + 2}} = - \sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2}}}\\\sqrt[3]{{\left( {x + 2} \right)2{{\rm{x}}^2}}} = \sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {2{{\rm{x}}^2} + 1} \right)}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = - 2{{\rm{x}}^2}\\2{{\rm{x}}^3} + 4{{\rm{x}}^2} = 2{{\rm{x}}^3} + 2{{\rm{x}}^2} + x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{{\rm{x}}^2} + x + 2 = 0\\2{{\rm{x}}^2} - x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\]

(Vì phương trình:\(2{{\text{x}}^{2}}+x+2=0\) có \(\Delta\) < 0 nên vô nghiệm)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.