Cho hình vuông ABCD có độ cạnh là y (cm). Điểm E thuộc cạnh AB. Điểm G thuộc

Câu hỏi số 228609:

Vận dụng

Cho hình vuông ABCD có độ cạnh là y (cm). Điểm E thuộc cạnh AB. Điểm G thuộc tia AD sao cho

AG = AD + \(\frac{3}{2}\) EB. Dựng hình chữ nhật GAEF. Đặt EB = 2x (cm). Tính x và y để diện tích của hình chữ nhật GAEF bằng diện tích hình vuông ABCD và ngũ giác ABCFG có chu vi bằng \(100+4\sqrt{13}\) (cm).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:228609

Giải chi tiết

Theo giả thiết: EB = 2x (cm), x > 0 Ta có: AE = AB – EB = y - 2x (cm) AG = \(AD+\frac{3}{2}EB=y+\frac{3}{2}.2x=y+3x\) (cm) Diện tích hình chữ nhật GAEF:

\({{S}_{GAEF}}=AE.AG=\left( y-2x \right)\left( y+3x \right)\) (cm²)

Diện tích hình vuông ABCD:

\({{S}_{ABCD}}={{y}^{2}}\) (cm²)

Theo đề bài, diện tích của hình chữ nhật GAEF

bằng diện tích hình vuông ABCD, nên ta có:

\(\left( y-2x \right)\left( y+3x \right)={{y}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}+3xy-2xy-6{{x}^{2}}={{y}^{2}}\Leftrightarrow xy-6{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x\left( y-6x \right)=0\)

Vì x > 0 nên \(x\left( y-6x \right)=0\Leftrightarrow y-6x=0\Leftrightarrow y=6x\) (1) Do: AB // CD (ABCD là hình vuông) mà FE \(\bot \)AB (GAEF là hình chữ nhật) \(\Rightarrow \)\(EF\bot DC\)tại I. Ta có: AG = AD + DG mà AG = AD + \(\frac{3}{2}EB\) \(\Rightarrow DG=\frac{3}{2}EB=\frac{3}{2}.2x=3x\left( cm \right)\) Tứ giác EBCI và DGFI là hình chữ nhật (vì mỗi tứ giác có 3 góc vuông).

\(\Rightarrow EB=IC=2x\) (cm) và DG = IF =3x (cm)

Xét tam giác vuông FIC, ta có: \(FC=\sqrt{I{{C}^{2}}+I{{F}^{2}}}=\sqrt{4{{x}^{2}}+9{{x}^{2}}}=x\sqrt{13}\) (định lý Pitago) Chu vi của ngũ giác ABCFG là:

\(3y+x\sqrt{13}+\left( y-2x \right)+3x=x\left( 1+\sqrt{13} \right)+4y\)

Theo đề bài ta có phương trình:

\(x\left( 1+\sqrt{13} \right)+4y=100+4\sqrt{13}\) (2)

Thế (1) vào (2), ta được:

\(x\left( 1+\sqrt{13} \right)+4.6x=100+4\sqrt{13}\Leftrightarrow x\left( 1+\sqrt{13}+24 \right)=100+4\sqrt{13}\Leftrightarrow x=\frac{100+4\sqrt{13}}{25+\sqrt{13}}=4\)

Thế x = 4 vào (1), ta được: \(y=6.4=24\)

Vậy: x = 4cm, y = 24cm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link