Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 228657:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với \(mp\,\,\left( ABCD \right),\,\,SA=a\sqrt{2}.\) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \(SB.\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích \(S.\) Tính \(S\) theo \(a.\)

A. \(S=\frac{5{{a}^{2}}\sqrt{6}}{12}.\)

B. \(S=\frac{5{{a}^{2}}\sqrt{6}}{18}.\)

C. \(S=\frac{5{{a}^{2}}\sqrt{6}}{3}.\) \

D. \(S=\frac{5{{a}^{2}}\sqrt{6}}{5}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:228657

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác

Giải chi tiết

Ta có AD vuông góc với SA và AB\(\Rightarrow AD\bot mp\,\,\left( SAB \right)\Rightarrow AD\bot SB.\)

Vẽ đường cao AH trong tam giác SAB

Lại có AD và AH qua A và vuông góc với SB.

Vậy mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chính là mặt phẳng (AHD)

Mặt khác AD // mp(SBC) mà \(AD\subset mp\,\,\left( AHD \right)\)

Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (AHD) theo giao tuyến HK // AD.

Do đó mặt cắt là hình thang ADKH mà \(AD\bot mp\,\,\left( SAB \right)\)\(\Rightarrow \,AD\bot AH.\)

Suy ra tứ giác ADKH là hình thang vuông.

Tam giác SAB vuông \(\Rightarrow \,\,AH=\frac{SA.AB}{SC}=\frac{a\sqrt{2}.a}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.\) Và \(S{{A}^{2}}=SH.HB\,\,\Rightarrow \,\,SH=\frac{S{{A}^{2}}}{SB}=\frac{2{{a}^{2}}}{a\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\)

Ta có \(HK\)//\(BC\)\(\Rightarrow \,\,\frac{HK}{BC}=\frac{SH}{SB}\,\,\Rightarrow \,\,HK=\frac{SH.BC}{SB}=\frac{\frac{2a\sqrt{3}}{3}.a}{a\sqrt{3}}=\frac{2a}{3}.\)

Do đó \({{S}_{ADKH}}=\frac{AH}{2}.\left( HK+AD \right)=\frac{a\sqrt{6}}{6}.\left( \frac{2a}{3}+a \right)=\frac{a\sqrt{6}}{6}.\frac{5a}{3}=\frac{5{{a}^{2}}\sqrt{6}}{18}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.