Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(\,SA=2a\) và vuông góc với đáy.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(\,SA=2a\) và vuông góc với đáy. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(B\) và vuông góc với \(SC\). Tính diện tích \(S\) của thiết diện tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp đã cho.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác
Gọi I là trung điểm của AC, suy ra \(BI\bot AC\).
Ta có \(\left\{ \begin{align} & BI\bot AC \\ & BI\bot SA \\\end{align} \right.\Rightarrow BI\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BI\bot SC\). (1)
Kẻ \(IH\bot SC\) \(\left( H\in SC \right)\). (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(SC\bot \left( BIH \right)\).
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác IBH.
Do \(BI\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BI\bot IH\) nên \(\Delta \,IBH\) vuông tại I.
Ta có BI đường cao của tam giác đều cạnh a nên \(BI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Tam giác CHI đồng dạng tam giác CAS, suy ra
\(\frac{IH}{SA}=\frac{CI}{CS}\Rightarrow IH=\frac{CI.SA}{CS}=\frac{CI.SA}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{\frac{a}{2}.2a}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}\)
Vậy \({{S}_{\Delta \,BIH}}=\frac{1}{2}BI.IH=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{5}}{5}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{15}}{20}.\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
