Cho \(\Delta ABC\) đều, gọi D là điểm nằm giữa A và B, E là điểm nằm giữa A và C sao cho

Câu hỏi số 229199:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) đều, gọi D là điểm nằm giữa A và B, E là điểm nằm giữa A và C sao cho \(BD=AE.\) Chứng minh rằng khi D và E thay đổi trên các cạnh AB và AC thì đường trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:229199

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng và tính chất giao điểm các đường trung trực trong tam giác.

Giải chi tiết

Gọi O là giao điểm hai đường trung trực của AB và DE \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & OA=OB \\ & OD=OE \\ \end{align} \right.\) (tính chất điểm thuộc đường trung trực của 1 đoạn thẳng)

Mà AE = BD (gt) nên suy ra \(\Delta OAE=\Delta OBD\left( c-c-c \right)\Rightarrow \widehat{OEA}=\widehat{ODB}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\left\{ \begin{align} & \widehat{OEA}+\widehat{OEC}={{180}^{0}} \\ & \widehat{ODB}+\widehat{ODA}={{180}^{0}} \\ \end{align} \right.\) (kề bù) \(\Rightarrow \widehat{OEC}=\widehat{ODA}\)

Vì \(\left\{ \begin{align} & BD+DA=BA \\ & AE+EC=AC \\ & BD=AE\left( gt \right) \\ & BA=AC\left( gt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow AD=EC\)

Xét \(\Delta OAD\) và \(\Delta OCE\) ta có:

\(\left\{ \begin{align} & AD=EC \\ & \widehat{OEC}=\widehat{ODA} \\ & OD=OE \\ \end{align} \right.\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta OAD=\Delta OCE\left( c-g-c \right)\Rightarrow OA=OC\)(2 cạnh tương ứng)

Mặt khác, \(OA=OB\left( cmt \right)\Rightarrow OA=OB=OC\). Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\) Vậy khi D và E thay đổi trên các cạnh AB và AC thì đường trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link