Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho \(BD=BA\) . Trên tia đối

Câu hỏi số 229196:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho \(BD=BA\) . Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho \(CE=CA\). Kẻ trung tuyến BM của \(\Delta ABD\), trung tuyến CN của \(\Delta ACE\), BM và CN cắt nhau tại O. Chứng minh AO vuông góc với DE.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:229196

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất tam giác cân, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.

Giải chi tiết

Vì BM và CN là đường trung tuyến thuộc cạnh đáy AD và AC của tam giác cân ABD và ACE nên BM là đường trung trực của AD, CN là đường trung trực của AE.

Vì O là giao điểm của BM và CN nên ta có: \(\left\{ \begin{align} & OA=OD \\ & OA=OE \\ \end{align} \right.\Rightarrow OD=OE\)

Vậy O thuộc đường trung trực của DE. (1)

\(\Delta ABC\) cân tại A (gt) \(\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác cân)

Mà: \(\left\{ \begin{align} & \widehat{ABC}+\widehat{ABD}={{180}^{0}} \\ & \widehat{ACE}+\widehat{ACB}={{180}^{0}} \\ \end{align} \right.\) (kề bù) \(\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) .

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) \(\Rightarrow AB=AC\) (tính chất tam giác cân) mà \(\left\{ \begin{align} & BD=AB \\ & CE=AC \\ \end{align} \right.\left( gt \right)\Rightarrow AB=AC=BD=CE.\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

\(\left\{ \begin{align} & AB=AC \\ & \widehat{ABD}=\widehat{ACE} \\ & DB=CE \\ \end{align} \right.\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACE\left( c-g-c \right)\Rightarrow AD=AE\) (2 cạnh tương ứng)

Vậy A thuộc đường trung trực của DE. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của DE. Vậy \(AO\bot DE.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link