Chứng minh các bất đẳng thức: a. \({{a}^{2}}-6a+10\ge 1\) b. \(4{{a}^{4}}-4{{a}^{3}}+{{a}^{2}}\ge 0\) c.

Câu hỏi số 230075:

Vận dụng cao

Chứng minh các bất đẳng thức:

a. \({{a}^{2}}-6a+10\ge 1\)

b. \(4{{a}^{4}}-4{{a}^{3}}+{{a}^{2}}\ge 0\)

c. \({{x}^{3}}+{{y}^{3}}\ge {{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}\) với \(x>0;\,\,y>0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:230075

Phương pháp giải

- Chứng minh một vế luôn dương (hằng đẳng thức)

- Chuyển hết sang một bên để một vế là 0

Giải chi tiết

a.Ta biến đổi:

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{2}}-6a+10\ge 1 \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-6a+9\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{(a-3)}^{2}}\ge 0 \\ \end{align}\)

Luôn đúng \(\Rightarrow {{a}^{2}}-6a+10\ge 1.\)

b.Ta biến đổi:

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,\,\,4{{a}^{4}}-4{{a}^{3}}+{{a}^{2}}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}(4{{a}^{2}}-4a+1)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}{{(2a-1)}^{2}}\ge 0 \\ \end{align}\)

Luôn đúng \(\Rightarrow 4{{a}^{4}}-4{{a}^{3}}+{{a}^{2}}\ge 0.\)

c. \({{x}^{3}}+{{y}^{3}}\ge {{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}\) với \(x>0;\,\,y>0\).

Ta có:

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,\,{{x}^{3}}+{{y}^{3}}\ge {{x}^{2}}y+x{{y}^{2}} \\ & \Leftrightarrow \left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)\ge xy\left( x+y \right) \\ & \Leftrightarrow \left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-xy \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}\ge 0\,\,\,\,\left( do\,\,\,x+y>0 \right) \\ & \Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall x,\,\,y>0. \\ \end{align}\)

Vậy \({{x}^{3}}+{{y}^{3}}\ge {{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}\) với \(x>0;\,\,y>0\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link