Hai ròng rọc có tâm O, O’ và bán kính R = 40cm, R’ = 10cm. Hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt

Câu hỏi số 230508:

Vận dụng

Hai ròng rọc có tâm O, O’ và bán kính R = 40cm, R’ = 10cm. Hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A theo góc 60⁰. Tìm độ dài của dây cua- roa mắc qua hai ròng rọc?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:230508

Giải chi tiết

AM và AP là hai tiếp tuyến chung xuất phát từ A đến đường tròn (O) và (O’) nên OA là tia phân giác của góc MAP và góc NAQ. Vì góc MAP = 60⁰ nên góc MAO = góc NAO’ = 30⁰. Xét tam giác vuông ANO’, ta có:

\(\sin NAO'=\frac{NO'}{AO'}\Rightarrow AO'=\frac{NO'}{\sin NAO'}=\frac{10}{\sin {{30}^{0}}}=20cm\)

Xét tam giác vuông ANO’, ta có:

\(\sin MAO=\frac{OM}{OA}\Rightarrow OA=\frac{OM}{\sin MAO}=\frac{40}{\sin {{30}^{0}}}=80cm\)

\(OO'=OA-O'A=80-20=60cm\) Từ O’ kẻ O’M’ // MN \(\left( M'\in OM \right)\)mà \(MN\bot OM\)(MN là tiếp tuyến đường tròn (O))

\(\Rightarrow O'M'\bot OM\) (quan hệ vuông góc, song song)

Tứ giác MNO’M’ là hình chữ nhật ( vì có \(\overset{\hat{\ }}{\mathop{M}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{N}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{M}}\,'={{90}^{0}}\))

\(\Rightarrow M'O'=MN\) và \(MM'=O'N=10cm\)

\(OM'=OM-MM'=40-10=30cm\) Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông OM’O’ ta có:

\(M'O'=\sqrt{OO{{'}^{2}}-OM{{'}^{2}}}=\sqrt{{{60}^{2}}-{{30}^{2}}}=\sqrt{2700}=30\sqrt{3}cm\)

\(\Rightarrow MN=M'O'=30\sqrt{3}cm\)

Tứ giác ANO’Q có \(\overset{\hat{\ }}{\mathop{N}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{Q}}\,={{90}^{0}}{{;}^{{}}}\overset{\hat{\ }}{\mathop{A}}\,={{60}^{0}}\), suy ra: góc NO’Q = 120⁰ (tổng các góc trong một tứ giác bằng 360⁰) Tứ giác MAPO có \(\overset{\hat{\ }}{\mathop{M}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{P}}\,={{90}^{0}}{{;}^{{}}}\overset{\hat{\ }}{\mathop{A}}\,={{60}^{0}}\), suy ra: góc MOP = 120⁰ (tổng các góc trong một tứ giác bằng 360⁰) \(\Rightarrow \) số đo cung nhỏ MP bằng 120⁰Số đo cung lớn MmP là: \({{360}^{0}}-{{120}^{0}}={{240}^{0}}\) Độ dài cung nhỏ NQ là: \({{l}_{1}}=\frac{\pi .R'.120}{180}=\frac{20\pi }{3}cm\) Độ dài cung lớn MmP là: \({{l}_{1}}=\frac{\pi .R.240}{180}=\frac{160\pi }{3}cm\) Độ dài của dây cua –roa mắc qua hai ròng rọc là:

\(MN+PQ+{{l}_{1}}+{{l}_{2}}=2MN+{{l}_{1}}+{{l}_{2}}=2.30\sqrt{3}+\frac{20\pi }{3}+\frac{160\pi }{3}\approx 292,4cm\)

v Các em lưu ý: Vì \(AM=AP{{;}^{{}}}AN=AQ\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Rightarrow MN=PQ\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link