Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường tròn (C):

Câu hỏi số 231325:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường tròn (C): \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-6y+9=0\). Tìm những điểm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.

A. \( M\left( -\frac{11}{5};\frac{23}{5} \right),N\left( \frac{1}{5};\frac{7}{5} \right)\)

B. \(M\left( -\frac{2}{5};\frac{11}{5} \right),N\left( \frac{1}{5};\frac{7}{5} \right)\)

C. \(M\left( -\frac{2}{5};\frac{11}{5} \right),N\left( 1;2 \right)\)

D. \(M\left( -\frac{11}{5};\frac{23}{5} \right),N\left( 1;2 \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231325

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức tam giác \(IM+MN\ge IN\Leftrightarrow MN\ge IN-R\Rightarrow MN\,\,\min \Leftrightarrow NI\,\,\min \)

Giải chi tiết

Đường tròn (C ) có tâm \(I(-1;3)\) và bán kính \(R=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}-9}=2\).

Ta có: \(d(I;d)=\frac{\left| 3.\left( -1 \right)-4.3+5 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=2>R\)

Suy ra \(d\) không cắt (C ).

Ta có \(IM+MN\ge IN\Leftrightarrow MN\ge IN-R\)

MN min \(\Leftrightarrow \) IN đạt min \(\Leftrightarrow \) N là chân hình chiếu vuông góc của I xuống đường thẳng d.

Giả sử \(N(a;b)\). Vì \(N\in d\) nên ta có \(3a\text{ - }4b\text{ }+\text{ }5\text{ }=\text{ }0\) (1)

Mặt khác, ta có: IN vuông góc với d nên \(\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\). Mà \(\overrightarrow{IN}=\left( a+1;b-3 \right),\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 4;3 \right)\). Suy ra ta có: \(4(a+1)+3(b-3)=0\Leftrightarrow 4a+3b-5=0\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 3b - 5 = 0\\3a - 4b + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{5}\\b = \frac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {\frac{1}{5};\frac{7}{5}} \right)\)

Vì \(d(I;d)=2R\) nên \(M\) là trung điểm của \(IN\). Do đó, tọa độ của \(M\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{1}{2}\left( { - 1 + \frac{1}{5}} \right) = - \frac{2}{5}\\{y_M} = \frac{1}{2}\left( {3 + \frac{7}{5}} \right) = \frac{{11}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{2}{5};\frac{{11}}{5}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.