Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường tròn (C):
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường tròn (C): \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-6y+9=0\). Tìm những điểm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng bất đẳng thức tam giác \(IM+MN\ge IN\Leftrightarrow MN\ge IN-R\Rightarrow MN\,\,\min \Leftrightarrow NI\,\,\min \)
Đường tròn (C ) có tâm \(I(-1;3)\) và bán kính \(R=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}-9}=2\).
Ta có: \(d(I;d)=\frac{\left| 3.\left( -1 \right)-4.3+5 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=2>R\)
Suy ra \(d\) không cắt (C ).
Ta có \(IM+MN\ge IN\Leftrightarrow MN\ge IN-R\)
MN min \(\Leftrightarrow \) IN đạt min \(\Leftrightarrow \) N là chân hình chiếu vuông góc của I xuống đường thẳng d.
Giả sử \(N(a;b)\). Vì \(N\in d\) nên ta có \(3a\text{ - }4b\text{ }+\text{ }5\text{ }=\text{ }0\) (1)
Mặt khác, ta có: IN vuông góc với d nên \(\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\). Mà \(\overrightarrow{IN}=\left( a+1;b-3 \right),\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 4;3 \right)\). Suy ra ta có: \(4(a+1)+3(b-3)=0\Leftrightarrow 4a+3b-5=0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 3b - 5 = 0\\3a - 4b + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{5}\\b = \frac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {\frac{1}{5};\frac{7}{5}} \right)\)
Vì \(d(I;d)=2R\) nên \(M\) là trung điểm của \(IN\). Do đó, tọa độ của \(M\) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{1}{2}\left( { - 1 + \frac{1}{5}} \right) = - \frac{2}{5}\\{y_M} = \frac{1}{2}\left( {3 + \frac{7}{5}} \right) = \frac{{11}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{2}{5};\frac{{11}}{5}} \right)\)
Đáp án cần chọn là: B
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
