Cho các mệnh đề sau: I. \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\) II. \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {{{{\left( {a

Câu hỏi số 231374:

Vận dụng

Cho các mệnh đề sau:

I. \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)

II. \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}} \over 3}\)

III. \({(a + b + c)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Xác định tính đúng sai của các mệnh đề.

A. Cả ba mệnh đề đều đúng.

B. I và II đúng.

C. II và III đúng.

D. I và III đúng.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231374

Phương pháp giải

Biến đổi tương đương.

Giải chi tiết

+) Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng

\(\eqalign{ & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr & {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc \cr & {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca \cr} \)

Cộng vế vế với các bất đẳng thức ta có

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\). (*) Suy ra I đúng.

+) Biến đổi tương đương (*) ta có

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)

\(\eqalign{ & \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right) \cr & \Leftrightarrow 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \cr & \Leftrightarrow 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2} \cr} \)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}} \over 3}\). Suy ra II đúng.

+) Biến đổi tương đương (*) theo cách khác ta có

\(\eqalign{ & {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca \cr & \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) \cr & \Leftrightarrow {(a + b + c)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) \cr} \)

Suy ra III đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.