Cho các mệnh đề sau: I. \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\) II. \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {{{{\left( {a

Câu hỏi số 231374:

Vận dụng

Cho các mệnh đề sau:

I. \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)

II. \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}} \over 3}\)

III. \({(a + b + c)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Xác định tính đúng sai của các mệnh đề.

A. Cả ba mệnh đề đều đúng.

B. I và II đúng.

C. II và III đúng.

D. I và III đúng.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231374

Phương pháp giải

Biến đổi tương đương.

Giải chi tiết

+) Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng

\(\eqalign{ & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr & {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc \cr & {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca \cr} \)

Cộng vế vế với các bất đẳng thức ta có

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\). (*) Suy ra I đúng.

+) Biến đổi tương đương (*) ta có

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)

\(\eqalign{ & \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right) \cr & \Leftrightarrow 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \cr & \Leftrightarrow 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2} \cr} \)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}} \over 3}\). Suy ra II đúng.

+) Biến đổi tương đương (*) theo cách khác ta có

\(\eqalign{ & {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca \cr & \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) \cr & \Leftrightarrow {(a + b + c)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) \cr} \)

Suy ra III đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.