Cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau: I. \(ab + bc + ca \ge 0\)

Câu hỏi số 231375:

Vận dụng

Cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

I. \(ab + bc + ca \ge 0\) II. \(ab + bc + ca \ge - {1 \over 2}\) III. \(ab + bc + ca < 1\) IV. \(ab + bc + ca \le 1\)

A. I và II đúng.

B. II và IV đúng.

C. II và III đúng.

D. I và IV đúng.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231375

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, kết hợp với suy luận.

Giải chi tiết

Xuất phát từ bất đẳng thức luôn đúng \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\). Biến đổi tương đương ta có:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0\)

Theo giả thiết \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) suy ra ta có \(1 + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca \ge - {1 \over 2}\).

Suy ra II đúng.

Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng

\(\eqalign{ & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr & {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc \cr & {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca \cr} \)

Cộng vế vế với các bất đẳng thức ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)

Theo giả thiết \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) suy ra ta có \(1 \ge ab + bc + ca\).

Suy ra IV đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10