Cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau: I. \(ab + bc + ca \ge 0\)

Câu hỏi số 231375:

Vận dụng

Cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

I. \(ab + bc + ca \ge 0\) II. \(ab + bc + ca \ge - {1 \over 2}\) III. \(ab + bc + ca < 1\) IV. \(ab + bc + ca \le 1\)

A. I và II đúng.

B. II và IV đúng.

C. II và III đúng.

D. I và IV đúng.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231375

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, kết hợp với suy luận.

Giải chi tiết

Xuất phát từ bất đẳng thức luôn đúng \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\). Biến đổi tương đương ta có:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0\)

Theo giả thiết \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) suy ra ta có \(1 + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca \ge - {1 \over 2}\).

Suy ra II đúng.

Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng

\(\eqalign{ & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr & {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc \cr & {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca \cr} \)

Cộng vế vế với các bất đẳng thức ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)

Theo giả thiết \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) suy ra ta có \(1 \ge ab + bc + ca\).

Suy ra IV đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.