Với cách đổi biến \(u=\sqrt{1+3\ln x}\) thì tích phân \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{1+3\ln

Câu hỏi số 233092:

Thông hiểu

Với cách đổi biến \(u=\sqrt{1+3\ln x}\) thì tích phân \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{1+3\ln x}}}dx\) trở thành:

A. \(\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}\)

B. \(\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}\)

C. \(2\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}\)

D. \(\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{u}^{2}}-1}{u}du}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:233092

Phương pháp giải

+) Đổi cận từ x sang u.

+) Áp dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp để tính \(du\) và thế vào biểu thức \(f\left( x \right)\) lấy tích phân.

Giải chi tiết

Đổi cận: \(\left\{ \begin{align} & x=1\Rightarrow u=1 \\ & x=e\Rightarrow u=2 \\ \end{align} \right..\)

Ta có: \(u=\sqrt{1+3\ln x}\Rightarrow {{u}^{2}}=1+3\ln x\Rightarrow \ln x=\frac{{{u}^{2}}-1}{3}.\)

\(\begin{align} & u=\sqrt{1+3\ln x}\Rightarrow du=\left( \sqrt{1+3\ln x} \right)'dx=\frac{\left( 1+3\ln x \right)'}{2\sqrt{1+3\ln x}}dx=\frac{3}{2x\sqrt{1+3\ln x}}dx. \\ & \Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{1+3\ln x}}dx=\frac{2}{3}du \\ \end{align}\) \(\Rightarrow \int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{1+3\ln x}}}dx=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{u}^{2}}-1}{3}.\frac{2}{3}du=\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du.}}\)

Chú ý khi giải

HS dễ bị nhầm vì không đổi cận.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.