Cho n là số nguyên dương thỏa mãn

Câu hỏi số 233102:

Vận dụng

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn \({{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-.........+\left( -1 \right)C_{n}^{n}=2048.\) Hệ số của \({{x}^{10}}\) trong khai triển \({{\left( x+2 \right)}^{n}}\) là:

A. \(11264\)

B. \(22\)

C. \(220\)

D. \(24\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:233102

Phương pháp giải

+) Sử dụng giả thiết và các khai triển nhị thức để tìm n.

+) Sau đó dựa vào khai triển \({{\left( x+a \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{x}^{k}}{{a}^{n-k}}.}\) tìm hệ số khai triển của \({{x}^{10}}\)

Giải chi tiết

Xét khai triển: \({{\left( 3-x \right)}^{n}}={{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}x+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}{{x}^{2}}-.........+\left( -1 \right)C_{n}^{n}{{x}^{n}}\)

Với \(x=1\Rightarrow {{\left( 3-1 \right)}^{n}}={{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-.........+\left( -1 \right)C_{n}^{n}.\)

Theo đề bài ta có: \({{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-.........+\left( -1 \right)C_{n}^{n}=2048.\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow {{\left( 3-1 \right)}^{n}}={{2}^{11}} \\ & \Leftrightarrow {{2}^{n}}={{2}^{11}} \\ & \Leftrightarrow n=11\ \ \left( tm \right). \\ \end{align}\)

Xét khai triển: \({{\left( x+2 \right)}^{11}}=\sum\limits_{k-0}^{11}{C_{n}^{k}{{x}^{k}}{{.2}^{11-k}}}\)

Để có hệ số của \({{x}^{10}}\Rightarrow k=10.\)

Hệ số của \({{x}^{10}}:\ \ C_{11}^{10}{{2}^{11-10}}=2.11=22.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.