Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \(\widehat{BAD}={{60}^{0}}.\) Hình chiếu vuông

Câu hỏi số 233110:

Vận dụng cao

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \(\widehat{BAD}={{60}^{0}}.\) Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng \({{60}^{0}}.\) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng:

A. \(\frac{\sqrt{21}a}{14}\)

B. \(\frac{\sqrt{21}a}{7}\)

C. \(\frac{3\sqrt{7}a}{14}\)

D. .\(\frac{3\sqrt{7}a}{7}\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

+) Vận dụng các tìm góc giữa hai mặt phẳng và cách tìm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng .

Giải chi tiết

Kẻ \(HG\bot AB.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & HG\bot AB \\ & SG\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SHG \right)\Rightarrow AB\bot SH.\)

Mà \(\left( ABCD \right)\cap \left( SAB \right)=AB\Rightarrow \) góc giữa (ABCD) và (SAB) là góc giữa SH và HG.

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & AB=AD=a\ \ \left( gt \right) \\ & \widehat{BAD}={{60}^{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác đều.

\(\begin{align} & \Rightarrow BG=\frac{2}{3}BO=\frac{1}{3}BD=\frac{a}{3}. \\ & \Rightarrow HG=BG.\sin {{60}^{0}}=\frac{a}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}. \\ \end{align}\)

Xét tam giác SHG vuông tại G ta có: \(SG=HG.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\frac{a}{2}.\)

Kéo dài HG cắt CD tại I.

Khi đó \(HI\bot CD\) do AB//CD.

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & GI\bot CD \\ & SG\bot CD \\ \end{align} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SGI \right)\Rightarrow CD\bot SI.\)

Kẻ \(GK\bot SI\Rightarrow CD\bot GK\Rightarrow GK\bot \left( SCD \right).\)

\(\Rightarrow d\left( G;\ \left( SCD \right) \right)=GK.\)

Ta có: \(\Delta GBH\backsim \Delta GDI\left( g-g \right)\Rightarrow \frac{GH}{GI}=\frac{BG}{GD}=\frac{1}{2}\Rightarrow GI=2GH=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\)

Xét tam giác SGI vuông tại G có đường cao GK ta có:

\(\frac{1}{K{{G}^{2}}}=\frac{1}{S{{G}^{2}}}+\frac{1}{G{{I}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{7}{{{a}^{2}}}\Rightarrow KG=\frac{a}{\sqrt{7}}.\)

Ta có: \(BG\cap \left( SCD \right)=D\Rightarrow \frac{d\left( B;\left( SCD \right) \right)}{d\left( G;\left( SCD \right) \right)}=\frac{BD}{GD}=\frac{3}{2}\Rightarrow d\left( B;\left( SCD \right) \right)=\frac{3}{2}d\left( G;\left( SCD \right) \right)=\frac{3a}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}a}{14}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:233110

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.