Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, \(AB=a;\ BC=a\sqrt{3}.\) Tam giác SAO cân tại

Câu hỏi số 233109:

Vận dụng cao

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, \(AB=a;\ BC=a\sqrt{3}.\) Tam giác SAO cân tại S, mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SD và (ABCD) bằng \({{60}^{0}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC:

A. \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

B. \(\frac{3a}{2}\)

C. \(\frac{a}{2}\)

D. \(\frac{3a}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:233109

Phương pháp giải

+) Vận dụng cách tìm góc giữa hai mặt phẳng và cách tìm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của \(AO,\ \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(AO\).

Gọi \(H=\left( \alpha \right)\cap AD.\)

Từ H dựng đường thẳng \(d\bot \left( ABCD \right).\)

Lấy \(S\in d,\) như thế ta có hình chóp thỏa mãn bài toán.

Ta có góc giữa đường thẳng SD với (ABCD) là góc \(\widehat{SDA}={{60}^{0}}.\)

\(\Rightarrow \tan \widehat{SAD}=\frac{SH}{HD}.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: \(AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a.\)

Ta có: \(\Delta AIH\backsim \Delta ADC\ \left( g-g \right)\Rightarrow \frac{AI}{AD}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AH=\frac{AI.AC}{AD}=\frac{A{{C}^{2}}}{4AD}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\) \(\begin{align} & \Rightarrow DH=AD-AH=a\sqrt{3}-\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}. \\ & \Rightarrow SH=DH.\tan {{60}^{0}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=2a. \\ \end{align}\)

Ta có \(AO=BO=AB=a\Rightarrow \Delta AOB\) là tam giác đều.

\(\Rightarrow IB\bot AO\Rightarrow B\in \left( SHI \right)\Rightarrow H,\ I,\ B\) thẳng hàng.

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & AC\bot SH \\ & AC\bot BH \\ \end{align} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SHB \right)\Rightarrow AC\bot SB.\)

Gọi J là hình chiếu của I lên SB, khi đó ta được \(IJ=d\left( AC,\ SB \right).\)

Ta có:

\(\begin{align} & HB=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}. \\ & \tan \widehat{SHB}=\frac{SH}{HB}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBH}={{60}^{0}}. \\ & \Rightarrow IJ=BI.\sin {{60}^{0}}=\frac{3a}{4}. \\ \end{align}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.