Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, \(AB=a;\ BC=a\sqrt{3}.\) Tam giác SAO cân tại

Câu hỏi số 233109:

Vận dụng cao

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, \(AB=a;\ BC=a\sqrt{3}.\) Tam giác SAO cân tại S, mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SD và (ABCD) bằng \({{60}^{0}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC:

A. \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

B. \(\frac{3a}{2}\)

C. \(\frac{a}{2}\)

D. \(\frac{3a}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

+) Vận dụng cách tìm góc giữa hai mặt phẳng và cách tìm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của \(AO,\ \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(AO\).

Gọi \(H=\left( \alpha \right)\cap AD.\)

Từ H dựng đường thẳng \(d\bot \left( ABCD \right).\)

Lấy \(S\in d,\) như thế ta có hình chóp thỏa mãn bài toán.

Ta có góc giữa đường thẳng SD với (ABCD) là góc \(\widehat{SDA}={{60}^{0}}.\)

\(\Rightarrow \tan \widehat{SAD}=\frac{SH}{HD}.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: \(AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a.\)

Ta có: \(\Delta AIH\backsim \Delta ADC\ \left( g-g \right)\Rightarrow \frac{AI}{AD}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AH=\frac{AI.AC}{AD}=\frac{A{{C}^{2}}}{4AD}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\) \(\begin{align} & \Rightarrow DH=AD-AH=a\sqrt{3}-\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}. \\ & \Rightarrow SH=DH.\tan {{60}^{0}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=2a. \\ \end{align}\)

Ta có \(AO=BO=AB=a\Rightarrow \Delta AOB\) là tam giác đều.

\(\Rightarrow IB\bot AO\Rightarrow B\in \left( SHI \right)\Rightarrow H,\ I,\ B\) thẳng hàng.

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & AC\bot SH \\ & AC\bot BH \\ \end{align} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SHB \right)\Rightarrow AC\bot SB.\)

Gọi J là hình chiếu của I lên SB, khi đó ta được \(IJ=d\left( AC,\ SB \right).\)

Ta có:

\(\begin{align} & HB=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}. \\ & \tan \widehat{SHB}=\frac{SH}{HB}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBH}={{60}^{0}}. \\ & \Rightarrow IJ=BI.\sin {{60}^{0}}=\frac{3a}{4}. \\ \end{align}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:233109

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.