Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự lần lượt 2

Câu hỏi số 233611:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự lần lượt 2 điểm D và E sao cho BD = CE.
a) Chứng minh \(\Delta ADE\) cân.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\).
c) Từ B và C kẻ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh 3 đường thẳng AM, BH, CK đồng quy.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:233611

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất tam giác cân, tính chất tia phân giác và tính chất đường trung trực.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\left\{ \begin{align} & \widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{ABD}={{180}^{0}} \\ & \widehat{{{C}_{1}}}+\widehat{ACE}={{180}^{0}} \\ \end{align} \right.\) (kề bù) mà \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) \(\Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\)(tính chất tam giác cân)

\(\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left( cmt \right)\)

BD = CE (gt)

\(\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACE\left( c-g-c \right)\Rightarrow AD=AE\)(2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow \Delta ADE\)cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

b) Vì \(\Delta ABD=\Delta ACE\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{DAB}=\widehat{KAC}\)(2 góc tương ứng).

Vì M là trung điểm của BC (gt) mà \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) suy ra AM là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (tính chất tam giác cân)

\(\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (tính chất tia phân giác).

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \widehat{DAM}=\widehat{DAB}+\widehat{BAM} \\ & \widehat{MAE}=\widehat{CAE}+\widehat{MAC} \\ & \widehat{DAB}=\widehat{KAC}\left( cmt \right) \\ & \widehat{BAM}=\widehat{MAC}\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{DAM}=\widehat{MAE}\)

Suy ra AM là phân giác của \(\widehat{DAE}\).

c) Xét \({{\Delta }_{v}}AHB\) và \({{\Delta }_{v}}AKC\) có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{HAB}=\widehat{KAC}\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow {{\Delta }_{v}}AHB={{\Delta }_{v}}AKC\)(cạnh huyền – góc nhọn)

\(\Rightarrow \widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\)(2 góc tương ứng)

Ta gọi BH và CK giao nhau tại I.

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{{{B}_{2}}}+\widehat{{{B}_{3}}}={{180}^{0}}\left( gt \right) \\ & \widehat{{{C}_{1}}}+\widehat{{{C}_{2}}}+\widehat{{{C}_{3}}}={{180}^{0}}\left( gt \right) \\ & \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\left( cmt \right) \\ & \widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{{{B}_{3}}}=\widehat{{{C}_{3}}}\)

\(\Rightarrow \Delta BIC\) cân tại I (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Suy ra I thuộc đường trung trực của BC.

Lại có \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) và AM là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (cmt) suy ra AM là đường trung trực của \(\Delta ABC\). Vậy A, I, M thẳng hàng. Suy ra AM, BH, CK đồng quy tại I.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link