Kết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4xy

Câu hỏi số 233677:

Thông hiểu

Kết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}4xy + 4({x^2} + {y^2}) + \frac{3}{{{{(x + y)}^2}}} = 7\\2x + \frac{1}{{x + y}} = 3\end{array} \right.\) (I)

A. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

B. Hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

C. Hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

D. Hệ phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:233677

Phương pháp giải

Phân tích để xuất hiện ẩn phụ: \(u = x + y + \frac{1}{{x + y}},\;v = x - y\)

Giải chi tiết

Điều kiện \(x + y \ne 0\). Khi đó ta có:

Hệ (I) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{(x + y)^2} + \frac{3}{{{{(x + y)}^2}}} + {(x - y)^2} = 7\\x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{\left[ {x + y + \frac{1}{{x + y}}} \right]^2} + {(x - y)^2} = 13\\x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 3\end{array} \right.\)

Đặt \(u = x + y + \frac{1}{{x + y}},\;(\left| u \right| \ge 2)\), \(v = x - y\)

Hệ phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3{u^2} + {v^2} = 13\\u + v = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u^2} + {v^2} = 13\\v = 3 - u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u^2} + {\left( {3 - u} \right)^2} = 13\\v = 3 - u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u^2} - 6u - 4 = 0\\v = 3 - u\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}u = 2\\u = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\\v = 3 - u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right.\end{array}\)

(Vì \(\left| u \right| \ge 2\))

Từ đó, có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{{x + y}} = 2\\x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y) = (1;0)\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10