Cho các số thực dương x và y thỏa mãn

Câu hỏi số 234283:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương x và y thỏa mãn \(4+{{9.3}^{{{x}^{2}}-2y}}=(4+{{9}^{{{x}^{2}}-2y}}){{.7}^{2y-{{x}^{2}}+2}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x+2y+18}{x+1}\).

A. \(P=\frac{3+12\sqrt{2}}{2}.\)

B. \(P=7.\)

C. \(P=-1+6\sqrt{2}.\)

D. \(P=\frac{-3+12\sqrt{2}}{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:234283

Phương pháp giải

- Đánh giá, tìm nghiệm của phương trình \(4+{{9.3}^{{{x}^{2}}-2y}}=(4+{{9}^{{{x}^{2}}-2y}}){{.7}^{2y-{{x}^{2}}+2}}\).

Giải chi tiết

Đặt \({{x}^{2}}-2y=t\). Phương trình \(4+{{9.3}^{{{x}^{2}}-2y}}=(4+{{9}^{{{x}^{2}}-2y}}){{.7}^{2y-{{x}^{2}}+2}}\)(1) trở thành: \(4+{{3}^{t+2}}=(4+{{3}^{2t}}){{.7}^{2-t}}\) (2)

* Dễ dàng kiểm tra, \(t=2\) là nghiệm của (2).

* Nếu t > 2 thì \(\left\{ \begin{array}{l}t + 2 < 2t\\{7^0} < {7^{2 - t}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < 4 + {3^{t + 2}} < 4 + {3^{2t}}\\0 < 1 < {7^{2 - t}}\end{array} \right. \Rightarrow 4 + {3^{t + 2}} < (4 + {3^{2t}}){.7^{2 - t}}\)

* Nếu t < 2 thì \(\left\{ \begin{array}{l}t + 2 > 2t\\{7^0} > {7^{2 - t}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + {3^{t + 2}} > 4 + {3^{2t}} > 0\\1 > {7^{2 - t}} > 0\end{array} \right. \Rightarrow 4 + {3^{t + 2}} > (4 + {3^{2t}}){.7^{2 - t}}\)

Vậy, phương trình (2) có duy nhất một nghiệm \(t=2\). Khi đó, ta có: \({{x}^{2}}-2y=2\Leftrightarrow 2y={{x}^{2}}-2\)

\(P=\frac{x+2y+18}{x+1}=\frac{x+{{x}^{2}}-2+18}{x+1}=\frac{{{x}^{2}}+x+16}{x+1}=x+\frac{16}{x+1}=(x+1)+\frac{16}{x+1}-1\overset{\operatorname{Cos}i}{\mathop{\ge }}\,2\sqrt{(x+1).\frac{16}{x+1}}-1=8-1=7\)

( do \(x>0\)).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x+1=\frac{16}{x+1}\Leftrightarrow x=3\)

Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.