Cho hàm số \(y=\frac{-x+2}{x-1}\) có đồ thị (C) và điểm \(A\left( a;1 \right)\). Gọi S là tập hợp

Câu hỏi số 235690:

Vận dụng

Cho hàm số \(y=\frac{-x+2}{x-1}\) có đồ thị (C) và điểm \(A\left( a;1 \right)\). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng:

A. 1

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(\frac{5}{2}\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:235690

Phương pháp giải

+) Giả sử tiếp tuyến đi qua \(A\left( a;1 \right)\) là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x={{x}_{0}}\) , viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x={{x}_{0}}\) là : \(y=\frac{-1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{-{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}\,\,\,\left( d \right)\)

+) \(A\in d\Rightarrow \) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d, tìm điều kiện để phương trình đó có duy nhất nghiệm \({{x}_{0}}\)

Giải chi tiết

TXĐ : \(x=R\backslash \left\{ 1 \right\}\) ; \(y'=\frac{-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\)

Giả sử tiếp tuyến đi qua \(A\left( a;1 \right)\) là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x={{x}_{0}}\) , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng : \(y=\frac{-1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{-{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}\,\,\,\left( d \right)\)

Vì \(A\in d\) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có :

\(\begin{align} & 1=\frac{-1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( a-{{x}_{0}} \right)+\frac{-{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1} \\ & \Leftrightarrow -a+{{x}_{0}}-x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}-2=x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+1 \\ & \Leftrightarrow 2x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}+3+a=0\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align}\)

Để chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất đi qua A thì phương trình (*) có 1 nghiệm.

TH1 : Phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 9 - 2\left( {3 + a} \right) = 0 \Leftrightarrow 3 - 2a = 0 \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\).

TH2: Phương trình (*) có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm \({x_0} = 1\)

\( \Rightarrow 2 - 6 + 3 + a = 0 \Leftrightarrow a = 1\)

\( \Rightarrow S = \left\{ {\frac{3}{2};1} \right\}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.