Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A(1;-6;1)\) và mặt phẳng \((P):x+y+7=0\). Điểm B thay đổi thuộc

Câu hỏi số 236533:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A(1;-6;1)\) và mặt phẳng \((P):x+y+7=0\). Điểm B thay đổi thuộc Oz; điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm B là

A. \(B(0;0;1)\).

B. \(B(0;0;-2)\).

C. \(B(0;0;-1)\).

D. \(B(0;0;2)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:236533

Phương pháp giải

- Chứng minh điểm b cần tìm là hình chiếu của A lên \(Oz\).

- Tìm tọa độ b .

Giải chi tiết

Nhận xét:

Ta dễ dàng kiểm tra được:

+) Oz song song với mặt phẳng \((P):x+y+7=0\)

+) Điểm \(A(1;-6;1)\) không thuộc đường thẳng \(Oz\) và mặt phẳng (P)

+) A và Oz nằm cùng phía so với mặt phẳng (P).

Gọi \({{B}_{0}},\,H\)lần lượt là hình chiếu của A lên Oz, (P).

A’ là điểm đối xứng của A qua (P).

Lấy \(B\in Oz,\,\,\,C\in (P)\)bất kì. Khi đó, ta chứng minh: \({{C}_{A{{B}_{0}}{{C}_{0}}}}\le {{C}_{ABC}}\)

Ta có:

\({{C}_{ABC}}=AB+(BC+AC)=AB+\left( BC+CA' \right)\) (vì (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AA’)

\(\ge A{{B}_{0}}+A'B\) ( Vì \(A{{B}_{0}}\bot Oz\))

\(\ge A{{B}_{0}}+A'{{B}_{0}}\) (Vì \(A'{{B}_{0}}\bot Oz\) (*) )

\(\begin{array}{l}= A{B_0} + A'{C_0} + {C_0}{B_0}\\ = A{B_0} + A{C_0} + {C_0}{B_0}\\ = {C_{A{B_0}{C_0}}}\end{array}\)

(Chứng minh (*) : Ta có: \(Oz//(P),\,\,AA'\bot (P)\Rightarrow Oz\bot AA'\) . Mà \(Oz\bot A{{B}_{0}}\Rightarrow Oz\bot (A{{B}_{0}}A')\Rightarrow Oz\bot A'{{B}_{0}}\))

Vậy, khi B, C lần lượt trùng với các điểm \({{B}_{0}},\,{{C}_{0}}\) xác định như trên, chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất.

* Tìm tọa độ điểm \({{B}_{0}}\)?

Tọa độ hình chiếu của \(A(1;-6;1)\) lên Oz là: (0; 0; 1)

Vậy, \({{B}_{0}}(0;0;1)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.