Biết \(\int\limits_1^{\sqrt 3 } {{{dx} \over {x\sqrt {{x^2} + 1} }}} = a\ln 3 + b\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)

Câu hỏi số 238360:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_1^{\sqrt 3 } {{{dx} \over {x\sqrt {{x^2} + 1} }}} = a\ln 3 + b\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) + c\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\) với \(a,b,c \in Q\). Tính \(M = a + 2b - 2c\)

A. \(M = 2\)

B. \(M = -1\)

C. \(M = {1 \over 2}\)

D. \(M = {3 \over 2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:238360

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \)

Giải chi tiết

\(I = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {{{dx} \over {x\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {{{xdx} \over {{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}} \)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow tdt = xdx\) và \({x^2} = {t^2} - 1\), đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \hfill \cr x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\eqalign{ & I = \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {{{tdt} \over {\left( {{t^2} - 1} \right)t}}} = \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {{{dt} \over {\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} = {1 \over 2}\int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\left( {{1 \over {t - 1}} - {1 \over {t + 1}}} \right)dt} \cr & = \left. {{1 \over 2}\ln \left| {{{x - 1} \over {x + 1}}} \right|} \right|_{\sqrt 2 }^2 = {1 \over 2}\ln {1 \over 3} - {1 \over 2}\ln \left| {{{\sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 + 1}}} \right| = - {1 \over 2}\ln 3 - {1 \over 2}\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right) + {1 \over 2}\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = - {1 \over 2} \hfill \cr b = {1 \over 2} \hfill \cr c = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Rightarrow M = a + 2b - 2c = - {1 \over 2} + 1 + 1 = {3 \over 2} \cr} \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.