Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt[4]{{{x}^{2}}\left( 4-{{x}^{2}} \right)}\) và trục

Câu hỏi số 238787:

Vận dụng

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt[4]{{{x}^{2}}\left( 4-{{x}^{2}} \right)}\) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh Ox.

A. \(5\pi \)

B. \(\frac{17\pi }{3}\)

C. \(\frac{16\pi }{3}\)

D. \(\frac{14\pi }{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:238787

Phương pháp giải

+) Thể tích của vật tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=a;\ \ x=b\ \ \left( a<b \right)\) khi quay quanh trục Ox là: \(V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx.\)

Giải chi tiết

Đk: \(4-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -2\le x\le 2.\)

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \sqrt[4]{{{x^2}\left( {4 - {x^2}} \right)}} = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {4 - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\\x = 2\end{array} \right..\)

\(\Rightarrow {{V}_{\left( H \right)}}=\pi \int\limits_{-2}^{0}{\sqrt{{{x}^{2}}\left( 4-{{x}^{2}} \right)}dx+\pi \int\limits_{0}^{2}{\sqrt{{{x}^{2}}\left( 4-{{x}^{2}} \right)}dx=2\pi }}\int\limits_{0}^{2}{\sqrt{4{{x}^{2}}-{{x}^{4}}}dx}=2\pi \int\limits_{0}^{2}{x\sqrt{4-{{x}^{2}}}}dx.\)

Đặt \(\sqrt{4-{{x}^{2}}}=t\Rightarrow {{t}^{2}}=4-{{x}^{2}}\Rightarrow tdt=-xdx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2.\\x = 2 \Rightarrow t = 0.\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {{V}_{\left( H \right)}}=-2\pi \int\limits_{-2}^{0}{{{t}^{2}}dt}=2\pi \int\limits_{0}^{2}{{{t}^{2}}dt}=2\pi .\left. \frac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{2}=\frac{16\pi }{3}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.