a. Với n là số tự nhiên chứng minh: \(\left( {{3}^{n+3}}-{{2.3}^{n}}+{{2}^{n+5}}-{{7.2}^{n}} \right)\vdots

Câu hỏi số 239023:

Vận dụng cao

a. Với n là số tự nhiên chứng minh: \(\left( {{3}^{n+3}}-{{2.3}^{n}}+{{2}^{n+5}}-{{7.2}^{n}} \right)\vdots 25\) .

b. Cho \(x-y=1\), chứng minh rằng giá trị của đa thức \(P={{x}^{3}}-{{x}^{2}}y-{{x}^{2}}+x{{y}^{2}}-{{y}^{3}}-{{y}^{2}}+5x-5y+2013\) là một hằng số.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:239023

Phương pháp giải

- Nhóm các hạng tử có nhân tử chung và áp dụng tính chất chia hết của 1 tổng.

- Nhóm các hạng tử đồng dạng và rút gọn, thay giá trị \(x-y=1\) vào biểu thức đã biến đổi ta được giá trị của P là một hằng số không phụ thuộc vào giá trị của x và y.

Giải chi tiết

a) Ta có: \({{3}^{n+3}}-{{2.3}^{n}}+{{2}^{n+5}}-{{7.2}^{n}}\)

\(\begin{align} & ={{3}^{n}}\left( {{3}^{3}}-2 \right)+{{2}^{n}}\left( {{2}^{5}}-7 \right) \\ & ={{3}^{n}}.25+{{2}^{n}}.25 \\ & =25\left( {{3}^{n}}+{{2}^{n}} \right)\vdots 25\ \ \forall n\in N. \\ \end{align}\)

b) Vì \(x-y=1\) nên ta có:

\(\begin{align} & P={{x}^{3}}-{{x}^{2}}y-{{x}^{2}}+x{{y}^{2}}-{{y}^{3}}-{{y}^{2}}+5x-5y+2013 \\ & =\left( {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right)-\left( {{x}^{2}}y-x{{y}^{2}} \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+\left( 5x-5y \right)+2013 \\ & =\left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)-xy\left( x-y \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+5\left( x-y \right)+2013 \\ & ={{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-xy-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+5+2013 \\ & =2018 \\ \end{align}\)

Vậy giá trị của đa thức P luôn là một hằng số với \(\forall x,y.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link