Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA=2a.\) Gọi \({B}',\,\,{D}'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên các cạnh \(SB,\,\,SD.\) Mặt phẳng \(\left( A{B}'{D}' \right)\) cắt cạnh \(SC\) tại \({C}'.\) Tính thể tích khối chóp \(S.A{B}'{C}'{D}'.\)

Câu 242184: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA=2a.\) Gọi \({B}',\,\,{D}'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên các cạnh \(SB,\,\,SD.\) Mặt phẳng \(\left( A{B}'{D}' \right)\) cắt cạnh \(SC\) tại \({C}'.\) Tính thể tích khối chóp \(S.A{B}'{C}'{D}'.\)

A. \(\frac{{{a}^{3}}}{3}.\)

B. \(\frac{16{{a}^{3}}}{45}.\)

C. \(\frac{{{a}^{3}}}{2}.\)

D. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}.\)

Câu hỏi : 242184

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ số thể tích và công thức tính thể tích khối chóp.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD,\) nối \(SO\cap {B}'{D}'=I.\)

Và nối \(AI\) cắt \(SC\) tại \({C}'\) suy ra \(mp\,\,\left( A{B}'{D}' \right)\) cắt \(SC\) tại \({C}'.\)

Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A,\) có \(S{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}=6{{a}^{2}}\Rightarrow SC=a\sqrt{6}.\)

Ta có \(BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot A{B}'\) và \(SB\bot A{B}'\)\(\Rightarrow \,\,A{B}'\bot SC.\)

Tương tự \(A{D}'\bot SC\) suy ra \(SC\bot \left( A{B}'{D}' \right)\equiv \left( A{B}'{C}'{D}' \right)\Rightarrow SC\bot A{C}'.\)

Mà \(S{C}'.SC=S{{A}^{2}}\Rightarrow \frac{S{C}'}{SC}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\frac{2}{3}\) và \(\frac{S{B}'}{SB}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\frac{4}{5}.\)

Do đó \({{V}_{S.A{B}'{C}'}}=\frac{8}{15}{{V}_{S.ABC}}=\frac{8}{30}{{V}_{S.ABCD}}\) mà \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{2{{a}^{3}}}{3}.\)

Vậy thể tích cần tính là \({{V}_{S.A{B}'{C}'{D}'}}=2.{{V}_{S.A{B}'{C}'}}=\frac{16{{a}^{3}}}{45}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.