Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên chẵn \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn

Câu hỏi số 242186:

Vận dụng

Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên chẵn \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn \({{2}^{x}}-{{3}^{y}}=55\,\,?\)

A. 8

B. 2

C. 16

D. 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242186

Phương pháp giải

Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết

Do \({{2}^{x}}={{3}^{y}}+55\) nên \(x\ge 2\) suy ra \({{2}^{x}}-55\) là số nguyên nên \(y\ge 2.\)

Do \(x,\,\,y\) chẵn nên đặt \(x=2m,\,\,y=2n\) với \(m,\,\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.\)

Khi đó, giả thiết trở thành: \({{\left( {{2}^{m}} \right)}^{2}}-{{\left( {{3}^{n}} \right)}^{2}}=55\Leftrightarrow \left( {{2}^{m}}-{{3}^{n}} \right)\left( {{2}^{m}}+{{3}^{n}} \right)=55\)

\(\Rightarrow \left( {{2}^{m}}-{{3}^{n}} \right)\) và \({{2}^{m}}+{{3}^{n}}\) là 2 ước dương của 55.

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{2^m} - {3^n} = 1\\
{2^m} - {3^n} = 55
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{2^m} - {3^n} = 5\\
{2^m} - {3^n} = 11
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{2^m} = 28\\
{3^n} = 27
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{2^m} = 8\\
{3^n} = 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m = {\log _2}28\;\;\left( {ktm} \right)\\
n = 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m = 3\\
n = 1
\end{array} \right.\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..\)

Vậy \(\left( x;y \right)=\left( 6;2 \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.