Gọi \(S\) là tập hợp các số thực \(\left( x;y \right)\) sao cho \(x\in \left[ -\,1;1 \right]\) và thỏa

Câu hỏi số 242187:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập hợp các số thực \(\left( x;y \right)\) sao cho \(x\in \left[ -\,1;1 \right]\) và thỏa mãn điều kiện \(\ln {{\left( x-y \right)}^{x}}-2017x=\ln {{\left( x-y \right)}^{y}}-2017y+{{e}^{2018}}.\) Biết giá trị lớn nhất của biểu thức \(P={{e}^{2018x}}\left( y+1 \right)-2018{{x}^{2}}\) với \(\left( x;y \right)\in S\) đạt được tại \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. \({{x}_{0}}\in \left( -\,1;0 \right).\)

B. \({{x}_{0}}=-\,1.\)

C. \({{x}_{0}}=1.\)

D. \({{x}_{0}}\in \left[ 0;1 \right).\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242187

Phương pháp giải

Giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số để biểu diễn mối liên hệ giữa hai biến x, y và sử dụng phương pháp thế đưa về khảo sát hàm số tìm max – min.

Giải chi tiết

Ta có \(\ln {{\left( x-y \right)}^{x}}-2017x=\ln {{\left( x-y \right)}^{y}}-2017y+{{e}^{2018}}\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow \left( x-y \right)\ln \left( x-y \right)-2017\left( x-y \right)={{e}^{2018}} \\ & \Leftrightarrow \ln \left( x-y \right)-\frac{{{e}^{2018}}}{x-y}-2017=0. \\ \end{align}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\ln t-\frac{{{e}^{2018}}}{t}-2017,\) có \({f}'\left( t \right)=\frac{1}{t}+\frac{{{e}^{2018}}}{{{t}^{2}}}>0;\,\,\forall t>0.\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\,\infty \right)\) mà \(f\left( {{e}^{2018}} \right)=0\)\(\Rightarrow t=x-y={{e}^{2018}}.\)

Khi đó \(P={{e}^{2018x}}\left( 1+x-{{e}^{2018}} \right)-2018{{x}^{2}}\,\,\xrightarrow{{}}\,g\left( x \right).\)

Lại có \({g}'\left( x \right)={{e}^{2018}}x\left( 2019+2018x-2018{{e}^{2018}} \right)-4036x\Rightarrow {g}''<0;\,\,\forall x\in \left[ -\,1;1 \right].\)

Nên \({g}'\left( x \right)\) là hàm số nghịch biến trên \(\left[ -\,1;1 \right]\) mà \({g}'\left( -\,1 \right)={{e}^{-\,2018}}+2018>0\)

Và \({g}'\left( 0 \right)=2019-2018{{e}^{2018}}<0\) nên tồn tại \({{x}_{0}}\in \left( -\,1;0 \right)\) sao cho \({g}'\left( {{x}_{0}} \right)=0.\)

Vậy \(\underset{\left[ -\,1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( {{x}_{0}} \right)\) hay giá trị lớn nhất của \(P\) đạt được khi \({{x}_{0}}\in \left( -\,1;0 \right).\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.