Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và By (Ax và By cùng thuộc

Câu hỏi số 242536:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và By (Ax và By cùng thuộc nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn (O)). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M không trùng với A và B) kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh tứ giác AEMO là tứ giác nội tiếp.

b) AM cắt OE tại P, BM cắt Ò tại Q. Chứng minh tứ giác MPOQ là hình chữ nhật.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242536

Phương pháp giải

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({{180}^{0}}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Dựa vào các dấu hiệu nhận biết và các tính chất của đường tròn để chứng minh hình chữ nhật.

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác AMEO có \(\widehat{EAO}=\widehat{EMO}={{90}^{0}}\) (do EF và Ax là các tiếp tuyến)

\(\widehat{EAO}+\widehat{EMO}={{180}^{0}}\)(Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\))

Vậy tứ giác AMEO là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có: OA = OM = R ⇒ O thuộc trung trực của AM

EA = EM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ E thuộc trung trực của AM

⇒ OE là là trung trực của AM ⇒\(\widehat{MPO}={{90}^{0}}\)

Tương tự ta chứng minh OF là trung trực của BM ⇒\(\widehat{MQO}={{90}^{0}}\)

Ta có:

\(\widehat{AOE}=\widehat{MOE}=\frac{1}{2}\widehat{AOM},\widehat{MOF}=\widehat{FOB}=\frac{1}{2}\widehat{MOB}\)

\(\widehat{EOF}=\widehat{EOM}+\widehat{MOF}=\frac{1}{2}\left( \widehat{AOM}+\widehat{MOB} \right)={{90}^{0}}\)

Vậy OPMQ là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link