Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align} & x+y=m \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=-{{m}^{2}}+6 \\

Câu hỏi số 242538:

Vận dụng cao

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align} & x+y=m \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=-{{m}^{2}}+6 \\ \end{align} \right.\) (m là tham số)

Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm \(\left( x,y \right)\) sao cho biểu thức \(P=xy+2(x+y)\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

A. \(m=-2\)

\({{P}_{\min }}=14\)

B. \(m=1\)

\({{P}_{\min }}=4\)

C. \(m=-1\)

\({{P}_{\min }}=-4\)

D. \(m=-1\)

\({{P}_{\min }}=14\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242538

Phương pháp giải

+) Tách hằng đẳng thức và thế phương trình (1) vào phương trình (2).

+) Phương trình bậc hai có nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta \ge 0.\) Giải bất phương trình tìm điều kiện của m.

+) Xác định giá trị lớn nhất của P và tìm m để dấu “=” xảy ra.

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{align} & x+y=m \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=-{{m}^{2}}+6 \\ \end{align} \right.\)

Ta có: \({{\left( x+y \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy\Rightarrow {{m}^{2}}=-{{m}^{2}}+6+2xy\Leftrightarrow xy={{m}^{2}}-3\)

Suy ra \(x,y\) là nghiệm của phương trình \({{X}^{2}}-mX+{{m}^{2}}-3=0\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta ={{m}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-3 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4{{m}^{2}}+12\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le 3\Leftrightarrow -\sqrt{3}\le m\le \sqrt{3}\)

Khi đó ta có: \(P=xy+2(x+y)={{m}^{2}}-3+2m\ge {{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\ge -4\)

Dấu “=” xảy ra khi \(m=-1\)

Vậy \({{P}_{\min }}=-4\Leftrightarrow m=-1\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link