Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\) có

Câu hỏi số 242753:

Vận dụng cao

Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) sao cho biểu thức \(P={{\left( {{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất

A. \(m=-3.\)

B. \(m=-1.\)

C. \(m=11.\)

D. \(m=1.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242753

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét, tính P theo m.

+) Biến đổi tìm m để P min.

+) Đối chiếu với điều kiện của m rồi kết luận.

Giải chi tiết

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\)

\(\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m+1-4{{m}^{2}}+4>0\Leftrightarrow 4m<5\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}.\)

Khi đó theo theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2m+1 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-1 \\ \end{align} \right.\)

\(\begin{align} & P={{\left( {{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( -2m+1 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-1 \right)=4{{m}^{2}}-4m+1-2{{m}^{2}}+2 \\ & =2{{m}^{2}}-4m+3=2\left( {{m}^{2}}-2m+1 \right)+1=2{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1\ge 1 \\ \end{align}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\ \ \left( tm \right).\)

Vậy \({{P}_{\min }}=1\) khi \(m=1.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link