Tìm \(L=\lim \left( \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1+2}+\,...\,+\dfrac{1}{1+2+\,...\,+n} \right).\)

Câu hỏi số 243005:

Vận dụng

A. \(L=+\,\infty .\) .

\(L=\frac{3}{2}.\)

C. \(L=2.\)

D. \(L=\frac{5}{2}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243005

Phương pháp giải

Rút gọn biểu thức bên trong dấu lim bằng phương pháp xác định tổng của các phân số (bù trừ) từ đó tính lim của biểu thức

Giải chi tiết

Ta có \(1+2+3+\,\,...\,\,+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\) (tổng của cấp số cộng với \({{u}_{1}}=1;\,\,d=1\)).

Khi đó \(\frac{1}{1+2}+\,...\,+\frac{1}{1+2+\,...\,+n}=\frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+\frac{2}{4.5}+\,\,...\,\,+\frac{2}{n\left( n+1 \right)}=2\left( \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\,\,...\,\,+\frac{1}{n\left( n+1 \right)} \right)\)

\(=2\left( \frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+\frac{5-4}{4.5}+\,\,...\,\,+\frac{n+1-n}{n\left( n+1 \right)} \right)=2\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\,\,...\,\,+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)=2\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{n+1} \right).\)

Do đó \(\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\,...\,+\frac{1}{1+2+\,...\,+n}=1+2\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{n+1} \right)=2-\frac{2}{n+1}=\frac{2n}{n+1}.\) Vậy \(L=\lim \frac{2n}{n+1}=2.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.