Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-{{m}^{3}}\) với \(m\) là tham số; gọi

Câu hỏi số 243006:

Vận dụng

Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-{{m}^{3}}\) với \(m\) là tham số; gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng, khi \(m\) thay đổi, điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right)\) luôn nằm trên một đường thẳng \(d\) cố định. Xác định hệ số góc \(k\) của đường thẳng \(d.\)

A. \(k=-\,3.\)

B. \(k=3.\)

C. \(k=-\frac{1}{3}.\)

D. \(k=\frac{1}{3}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243006

Phương pháp giải

Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số bậc ba qua tham số m, biểu diễn tham số qua hai đại lượng biến x, y từ đó suy ra họ đường thẳng mà điểm thuộc, khi đó suy ra hệ số góc k

Giải chi tiết

Ta có \({y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right);\,\,\,{y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=m+1 \\& x=m-1 \\\end{align} \right..\)

Dễ thấy \(m+1>m-1\) và \(a=1>0\Rightarrow x=m-1\) là điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right).\)

Khi đó \(\begin{align} & y\left( m-1 \right)={{\left( m-1 \right)}^{3}}-3m{{\left( m-1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( m-1 \right)-{{m}^{3}} \\ & y\left( m-1 \right)={{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+3m-1-3{{m}^{3}}+6{{m}^{2}}-3m+3{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}-3m+3-{{m}^{3}} \\& y\left( m-1 \right)=-3m+2 \\\end{align}\)

Suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = m - 1\\
y = 2 - 3m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x = 3m - 3\\
y = 2 - 3m
\end{array} \right. \Leftrightarrow 3x + y + 1 = 0.\)

Vậy điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right)\) thuộc đường thẳng cố định \(d:3x+y+1=0\Rightarrow k=-3.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.