Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương. Xét các hình chóp \(S.ABC\) có \(SA=x,\,\,BC=y,\) các cạnh còn

Câu hỏi số 243016:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương. Xét các hình chóp \(S.ABC\) có \(SA=x,\,\,BC=y,\) các cạnh còn lại đều bằng \(1.\) Khi \(x,\,\,y\) thay đổi, thể tích khối chóp \(S.ABC\) có giá trị lớn nhất là

A. \(\frac{\sqrt{2}}{12}.\)

B. \(\frac{2\sqrt{3}}{27}.\)

C. \(\frac{\sqrt{3}}{8}.\)

D. \(\frac{1}{8}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243016

Phương pháp giải

Xác định thể tích khối chóp thông qua phương pháp dựng hình với các yếu tố đặc biệt, đưa về biểu thức chứa hai biến \(x,\,\,y\) và đánh giá thông qua bất đẳng thức, khảo sát hàm số để tìm GTLN của thể tích

Giải chi tiết

Gọi \(I,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,BC.\) Ta có \(\left\{ \begin{align} & BI\bot SA \\ & CI\bot SA \\\end{align} \right.\Rightarrow SA\bot \left( BIC \right)\) và \({{V}_{S.IBC}}={{V}_{A.IBC}}.\)

Lại có \(BI=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{I}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{2}.\)

Và \(IH=\sqrt{I{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{4-{{x}^{2}}}{4}-\frac{{{y}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}{2}.\)

Diện tích tam giác \(IBC\) là \({{S}_{\Delta \,IBC}}=\frac{1}{2}.IH.BC=\frac{y}{4}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\)

Suy ra \({{V}_{S.IBC}}={{V}_{A.IBC}}=\frac{1}{3}.\frac{x}{2}.\frac{y}{4}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{xy}{24}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\)

Khi đó, thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \({{V}_{S.ABC}}=2\,{{V}_{S.IBC}}=\frac{xy}{12}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\)

Ta có \(xy\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}\)\(\Rightarrow \)\(V\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{24}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\)

Đặt \(t=\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\in \left( 0;2 \right),\) khi đó \(V\le f\left( t \right)=\frac{t\left( 4-{{t}^{2}} \right)}{24}\le \frac{16\sqrt{3}}{9}\) (khảo sát hàm số).

Vậy giá trị lớn nhất của \({{V}_{S.ABC}}\) là \({{V}_{\max }}=\frac{2\sqrt{3}}{27}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.