Xét các số thực \(x,\,\,y\) với \(x\ge 0\) thỏa mãn điều

Câu hỏi số 243015:

Vận dụng cao

Xét các số thực \(x,\,\,y\) với \(x\ge 0\) thỏa mãn điều kiện:

\({{2018}^{x\,+\,3y}}+{{2018}^{xy\,+\,1}}+x+1={{2018}^{-\,xy\,-\,1}}+\frac{1}{{{2018}^{x\,+\,3y}}}-y\left( x+3 \right)\)

Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=x+2y.\) Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. \(m\in \left( -\,1;0 \right).\)

B. \(m\in \left( 0;1 \right).\)

C. \(m\in \left( 2;3 \right).\)

D. \(m\in \left( 1;2 \right).\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243015

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng để giải phương trình mũ từ giả thiết, tìm được mối liên hệ giữa các biến, sử dụng phương pháp thế và khảo sát hàm số để tìm max – min

Giải chi tiết

Giả thiết \(\Leftrightarrow \,\,{{2018}^{x\,+\,3y}}-\frac{1}{{{2018}^{x\,+\,3y}}}+x+3y={{2018}^{-\,xy\,-\,1}}-\frac{1}{{{2018}^{-\,xy\,-\,1}}}-xy-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{2018}^{t}}-{{2018}^{-\,t}}+t\) trên R, có \({f}'\left( t \right)={{2018}^{t}}.\ln 2018+{{2018}^{-\,t}}.\ln 2018+1>0\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên R mà \(\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x+3y \right)=f\left( -xy-1 \right)\Leftrightarrow x+3y=-\,xy-1.\)

\(\Leftrightarrow x+1=-\,\left( x+3 \right)y\Leftrightarrow y=-\frac{x+1}{x+3}.\) Khi đó \(T=x+2y=x-\frac{2x+2}{x+3}=\frac{{{x}^{2}}+x-2}{x+3}.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+x-2}{x+3}\) trên khoảng \(\left[ 0;+\,\infty \right),\) có \({g}'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+6x+5}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}>0;\,\,\forall x\ge 0.\)

Do đó, \(g\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;+\,\infty \right)\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\underset{\left( 0;+\,\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=-\,\frac{2}{3}\in \left( -\,1;0 \right).\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.