Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} - 3\left( {m +

Câu hỏi số 243111:

Vận dụng cao

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx\) có hai điểm cực trị \(A\) và \(B\) sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng \(y = x + 2\).

A. \(\left\{ {0;2} \right\}\)

B. \(\left\{ {0; - 2} \right\}\)

C. \(\left\{ {2; - 2} \right\}\)

D. \(\left\{ {2; - {1 \over 2}} \right\}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243111

Phương pháp giải

Xét phương trình \(y' = 0,\) tìm điều kiện để đồ thị hàm số có cực trị. Gọi các điểm cực trị là AB.

Viết phương trình đường thẳng AB là đường thẳng đi qua các điểm cực trị. Xác định hệ số góc k của đường thẳng AB.

Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng \(y = x + 2 \Leftrightarrow k.1 = - 1 \Leftrightarrow k = - 1 \Rightarrow \) Giá trị của tham số m.

Giải chi tiết

TXĐ : D = R.

Có \(y' = 6{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 6m = 6\left( {{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0\)

Để đồ thị hàm số có cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1.\)

Ta có : \(y = y'.{1 \over 6}\left( {2x - \left( {m + 1} \right)} \right) + \left[ {4m - {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right]x + m\left( {m + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(y = \left[ {4m - {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right]x + m\left( {m + 1} \right)\,\,\left( d \right)\), có hệ số góc \(k = 4m - {\left( {m + 1} \right)^2}.\)

Để đường thẳng d vuông góc với đường thẳng

\(y = x + 2 \Leftrightarrow k = - 1 \Leftrightarrow 4m - {\left( {m + 1} \right)^2} = - 1 \Leftrightarrow 4m - {m^2} - 2m - 1 = - 1 \Leftrightarrow - {m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 0\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr m = 2\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right..\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.