Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3mx + 1\) có

Câu hỏi số 243109:

Vận dụng cao

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3mx + 1\) có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A, với \(A\left( {2;3} \right).\)

A. \(\left\{ {0;{1 \over 2}} \right\}\)

B. \(\left\{ {{1 \over 2}} \right\}\)

C. \(\left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\)

D. \(\left\{ {0; - {1 \over 2}} \right\}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243109

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị, xác định các điểm cực trị B, C của đồ thị hàm số.

Gọi I là trung điểm của BC, tìm tọa độ điểm I : \(I\left( {{{{x_B} + {x_C}} \over 2};{{{y_b} + {y_C}} \over 2}} \right).\)

Tam giác ABC cân tại A \( \Rightarrow AI \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BC} = 0,\) giải phương trình tìm tham số m.

Giải chi tiết

TXĐ : D = R.

Ta có : \(y' = 3{x^2} - 3m = 0 \Leftrightarrow {x^2} = m\)

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\).

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là :

\(B\left( {\sqrt m ; - 2m\sqrt m + 1} \right);\,\,C\left( { - \sqrt m ;2m\sqrt m + 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( { - 2\sqrt m ;4m\sqrt m } \right).\)

Gọi I là trung điểm của BC ta có \(I\left( {0;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \left( {2;2} \right)\).

Tam giác ABC cân tại A\( \Leftrightarrow AI \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BC} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\left( { - 2\sqrt m } \right) + 2.4m\sqrt m = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt m \left( {2m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr m = {1 \over 2}\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right..\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.