Cho hình nón đỉnh \(S,\) chiều cao bằng \(12,\) đường tròn đáy tâm \(O,\) bán kính \(R=4.\) Điểm

Câu hỏi số 243940:

Vận dụng cao

Cho hình nón đỉnh \(S,\) chiều cao bằng \(12,\) đường tròn đáy tâm \(O,\) bán kính \(R=4.\) Điểm \(H\) thuộc đoạn \(SO.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(H\) và \(\left( P \right)\bot SO,\,\,\,\left( P \right)\) cắt hình nón theo đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right).\) Thể tích khối nón đỉnh \(O,\) đáy là đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\) lớn nhất bằng

A. \(\frac{260\pi }{27}.\)

B. \(\frac{252\pi }{27}.\)

C. \(\frac{258\pi }{27}.\)

D. \(\frac{256\pi }{27}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243940

Phương pháp giải

Xét mặt phẳng thiết diện đi qua đỉnh và vuông góc với đáy, sử dụng định lí Thalet để xác định mối liên hệ giữa chiều cao, bán kính đáy của hình nón cần tìm

Giải chi tiết

Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(O,\) đáy là đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và bán kính \(r,\) chiều cao \(h.\)

Theo định lí Thalet, ta có

\(\frac{r}{R}=\frac{SH}{SO}\Leftrightarrow \frac{r}{4}=\frac{SO-OH}{SO}=\frac{12-h}{12}\Rightarrow h=12-3r>0\Rightarrow r<4.\)

Thể tích khối nón \(\left( N \right)\) là \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{\pi }{3}{{r}^{2}}\left( 12-3r \right).\)

Khảo sát hàm số \(f\left( r \right)={{r}^{2}}\left( 12-3r \right)\,;\,\left( r\in \left( 0;4 \right) \right)\)

Ta có : \(f'\left( r \right)=2r\left( 12-3r \right)-3{{r}^{2}}=-9{{r}^{2}}+24r=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & r=0 \\& r=\frac{8}{3}\in \left( 0;4 \right) \\\end{align} \right.\)

\(f\left( \frac{8}{3} \right)=\frac{256}{9}\Rightarrow \underset{\left( 0;4 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( r \right)=\frac{256}{9}\)

Vậy thể tích lớn nhất cần tính là \({{V}_{\max }}=\frac{\pi }{3}.\frac{256}{9}=\frac{256\pi }{27}.\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.